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山东科技大学 2007 年招收硕士学位研究生入学考试
高等代数试卷
一、（20 分） 设矩阵
1 3 0
2 1 0
0 0 2
A
，
解矩阵方程 A X XA 。
二、（20 分）
1、 将所有 4级矩阵按相似关系进行分类后（即相似的矩阵划分
为一类），特征多项式为 3
( ) ( )( )f a b 的 4 级矩阵占
几类？每类各写出一个代表矩阵。
2、 证明 n 级矩阵 A 与它的转置矩阵 A相似。
三、（30 分） 设 A 为 n 级全1矩阵（即矩阵的每个元素都是1），
1．求 A的特征多项式及最小多项式；
2、矩阵 A能否对角化？若能，请求出可逆矩阵 B 使 1
B AB
为对
角矩阵。
四、（30 分） 设 A 与 B 都是n 级正定矩阵，求证：
1、 1
A 也是正定矩阵；
2、 A B 也是正定矩阵；
3、当 AB BA 时， AB也是正定矩阵。
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