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湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码:[ ] 考试科目名称:泛函分析
一、试卷结构
1) 试卷成绩及考试时间
本试卷满分为 100 分,考试时间为 180 分钟。
2)答题方式:闭卷、笔试
3)试卷内容结构
泛函分析 100%
4)题型结构
a: 判断题, 20 分
b: 填空题, 20 分
c: 计算题, 10 分
d:证明题, 50 分
二、考试内容与考试要求
1、距离空间和赋范线性空间
考试内容
(1)距离空间:距离空间的概念,距离空间中的开集闭集,稠密性与可分
性,连续映射的概念,距离空间中的完备性,列紧集,紧集及其上连续映射,具
体空间列紧集的判定定理,压缩映射原理及其应用。
(2)赋范线性空间:线性空间、范数、赋范线性空间、Banach 空间等概念,
赋范线性空间上范数的等价性,常见的具体 Banach 空间及其常用的范数的定义。
考试要求
(1)熟悉距离空间的概念和一些具体的距离空间;理解距离空间中的开集
闭集,稠密集与空间的可分性;熟练掌握连续映射的概念、距离空间中的完备性、
列紧集和紧集以及其上连续映射的性质;掌握具体空间列紧集的判定法;熟练掌
握压缩映射原理,并会用压缩映射原理分析映射的不动点。
(2)理解线性空间、范数、赋范线性空间等概念;掌握 Banach 空间、线性
赋范空间上范数的等价性;熟悉某些常见 Banach 空间中常用的范数的定义。
2、有界线性算子与连续线性泛函
考试内容
有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质,线性算子空间、共轭(对偶)
空间,某些常见 Banach 空间的共轭空间。
考试要求
掌握有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质,并会计算界线性算子和
连续线性泛函的范数;理解线性算子的连续性和有界性,熟悉算子空间、共轭(对
偶)空间的基本性质和某些常见 Banach 空间的共轭空间。
3、Hilbert 空间
考试内容
内积空间的基本概念与基本性质、几何特征、正交系、正规正交基、正交化,
Hilbert 空间的同构,射影定理、Hilbert 空间上的 Riesz 表示定理。
考试要求
熟悉内积空间的基本概念与基本性质、几何特征;熟练掌握正交系、正规正
交基、正交化、射影定理;理解 Hilbert 空间的同构、Hilbert 空间上的 Riesz 表
示定理。
4、Banach 空间的基本定理
考试内容
Hahn-Banach 延拓定理及其推论,Riesz 表示定理及应用,共轭算子及其性
质,第一、第二纲的集,纲定理,一致有界定理及应用,开映射定理,闭图象定
理,弱收敛和弱 收敛。
考试要求
熟练掌握 Hahn-Banach 延拓定理的推论、Riesz 表示定理、一致有界定理及
应用、开映射定理、闭图象定理;掌握共轭算子及其性质;理解 Hahn-Banach
延拓定理、第一、第二纲的集;了解弱收敛和弱 收敛。
教材及主要参考书:
[1] 江泽坚,孙善利, 泛函分析,高等教育出版社。
[2] 程其襄等, 实变函数论与泛函分析基础, 高等教育出版社。

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