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长春理工大学数学研究生入学加试
《实变函数与泛函分析》考试大纲
一、总体要求
考生应按本大纲的要求，掌握 Lebesgue 的测度论，实变量的可测函数理论，Lebesgue
积分理论与微分理论，掌握度量空间和赋范线性空间的概念和例子，有界线性算子和连续线
性泛函的概念和例子，掌握 Hilbert 空间的基本性质。较好的掌握测度论与抽象积分理论，
并且在一定程度上掌握集合的分析方法。
二、教材
《实变函数与泛函分析基础(第二版）》，程其襄等，高等教育出版社,2003.
三、考试内容
（一） 集合
1. 掌握集合的概念，集合的包含和相等的关系和判定方法；
2. 熟练掌握集合的和、交、差、余的运算，掌握上限集、下限集和收敛集的定义
3. 会求集合的和、交、差、余，会求集合族的上限集、下限集，会判定集合列是否收
敛；
4. 理解集合基数的概念，对等的概念，掌握 Bernstein 定理，会用 Bernstein 定理判
定集合对等；
5. 掌握可数集合与具有连续基数的不可数集合的概念、例子和运算性质，能够利用已
知的例子和运算性质去确定集合为哪类无限集合；
6. 知道不存在具有最大基数的集合。
（二）点集
1. 理解距离和距离空间的概念，懂得 Euclid 空间是距离空间；
2. 掌握邻域的概念与性质，掌握点列收敛、点集距离、有界集和区间的概念；
3．深入理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的定义，理解并掌握集合的开核、导集、
边界、闭包的概念及相关的性质；
4. 熟练掌握开集、闭集的概念和相关性质，掌握紧集的概念，完备集的概念，掌握有
限覆盖定理；
5. 理解直线上开集、闭集的构造定理，掌握 Cantor 集的性质。
（三）测度论
1.深入理解并熟练掌握外测度，L-可测集的定义和基本性质，并掌握典型的例子
2.理解 代数的定义，掌握 Borel 集、G 型集、F 型集的定义，明确可测集和 Borel
集、 G 型集、 F 型集之间的关系，掌握 L-可测集类；
（四）可测函数
1. 理解并掌握可测函数的定义与等价条件，掌握简单函数的概念，几乎处处收敛的概
念，理解简单函数与可测函数的关系；
2. 理解 Egorov 定理，Lusin 定理；
3. 理解并掌握依测度收敛的定义，理解 Riesz 定理，Lebesgue 定理，会利用这两个定
理去解决实际问题。
（五）积分论
1. 理解并熟练掌握 Lebesgue 积分的定义和等价条件，明确 L-可积函数的种类；
2. 熟练掌握 L-积分的性质：特别是 Lebesgue 控制收敛定理，Levi 定理，逐项积分定
理，积分的可数可加性，Fatou 引理，能够熟练地利用这些性质解决实际问题；
3. 知道 L-积分与 R-积分的关系；理解 Lebesgue 积分的几何意义及 Fubini 定理。
（六）微分与不定积分
1. 掌握单调函数、有界变差函数的可微性和其微分的 L-可积性,掌握不定积分的概念，
绝对连续函数的概念，以及 L-可积函数的 Newton-Leibniz 公式；
2. 理解分步积分法；
3. 了解 Steiltjes 积分。
（七）度量空间和赋范线性空间
1. 理解并熟练掌握度量空间中的相关概念和性质，特别是可分空间，完备度量空间，
度量空间的完备化公理，压缩影射原理及应用；
理解并掌握赋范线性空间的定义，例子；掌握 Banach 空间的定义，例子和性质。
（八）有界线性算子和连续线性泛函
1. 理解并掌握有界线性算子，无界线性算子，连续线性泛函的定义和例子；
2.理解并掌握算子范数的定义，会求简单的算子范数；
3.理解并掌握有界线性算子空间及其共轭空间的定义，例子，及简单的性质，会求简单
的线性算子空间的共轭空间；
4.了解广义函数的定义和例子。
（九） Hilbert 空间
1. 掌握内积空间的定义，Hilbert 空间的定义和例子，明确内积空间中范数、距离及
正交的定义；
2. 理解并掌握 Hilbert 空间中的投影定理；
3. 掌握规范正交系，Fourier 系数的定义，理解并掌握完全规范正交系，Fourier 展开
式的概念，掌握完全规范正交系的等价条件，判定定理，以及 Hilbert 空间中完全规范正交
系的存在性；
4. 掌握 Riesz 表示定理，共轭算子的概念及性质；
5. 了解自伴算子，酉算子和正常算子的定义和简单性质。
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