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2018 年硕士研究生招生考试试题
科目代码及名称:623 量子力学 适用专业：理论物理 凝聚态物理
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
一、填空题 (每题 4 分，共 20 分)
1. 微观粒子具有波粒二性，即微观粒子既有粒子性又有波动，其中粒子性是指微观粒子具
有 等属性，波动性是指粒子具有 等属性。
2.波函数 ( , )r t
的统计解释是__________________________________________________，
波函数的标准条件是___________________________。
3.以力学量坐标 ˆx 和 ˆ x
p 为例，它们满足的对易关系为____________，可知两个力学量的测
不准关系为__________________。
4. 全同性原理是指___________________________________________________________，
它要求全同粒子体系的波函数必须满足________________________。
5.在 ˆ
z
S 表象中，粒子某自旋态表示为
11
12
，在该态中 ˆ
z
S 的可能值为________和_____,
其相应概率分别为_______和_________。
二、简答题(每题 10 分，共 30 分)
1．给出薛定谔方程和定态薛定谔方程并阐明定态的特点。
2．简述力学量算符的厄米性及力学量用算符表示的含义。
3．已知质量为 的粒子处于一维谐振子势场 2 21
2
( )V x x 中运动，如果 t = 0 时粒子处
于态 1 2
0 23 3
( ,0)= ( ) ( )x x x ，其中 0
( )x 与 2
( )x 分别为一维谐振子基态与第二激发
态的能量本征函数，请给出（1）t 时刻粒子所处的状态 ( , )x t ，（2）粒子能量的可能值及
相应的概率。
三、证明题 (每题 10 分，共 20 分)
1.已知角动量分量算符 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,x z y y x z z y x
L yP zP L zP xP L xP yP ，基于坐标和动量算符的
对易关系 ˆ ˆ,x p i z ,证明 ˆ ˆ ˆ,x y z
L L i L
。
2. 证明厄米算符的本征值为实数。
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（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
四、计算题（本题 20 分）
有一个质量为 m 的粒子处在一维无限深势阱 ,
( )
0,
x a
V x
x a
，基于薛定谔方程和边界
条件试求粒子的能级和归一化波函数。
五、计算题（本题 20 分）
一维运动粒子的状态是
0,0
0,
)(
x
xAxe
x
x
当
当
，其中 0 ，求：(1)粒子动量的几率分
布函数；(2)粒子的平均动量。 （
0
!
k x
x e dx k
）
六、计算题（本题 20 分）
求势场为 2 21
2
( )V x x 的线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
七、计算题（本题 20 分）
转动惯量为 I、电偶极矩为 D
的空间转子，处在均匀电场在
中，势能为 cosU D 。
如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。（无外场时转子的基态本征函数为
00
1
( , )
4
Y
）
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