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847 高等代数 1.考试内容 1. 一元多项式理论:最大公因式与因式分解,重因式,不可约多项式,复数域上的不可 约多项式,实数域上的不可约多项式,有理系域上的不可约多项式,多元多项式环。 2. 行列式:行列式的定义,行列式的计算及性质,Laplace 展开定理。 3. 线性方程组理论:Cramer 法则,Gauss 消元法,n 维向量的线性相(无)关性,向量 组的秩和矩阵的秩,线性方程组有解的判别,线性方程组解的结构。 4. 矩阵:矩阵的混合运算,方阵的行列式,矩阵的逆,矩阵的分块,初等矩阵,正交矩 阵,欧几里得空间 n 。 5. 矩阵的相抵与相似:矩阵的相抵,广义逆矩阵,矩阵的相似,矩阵的特征值和特征向 量,矩阵可对角化的条件,实对称矩阵的对角化。 6. 二次型:二次型及其标准形,实二次形的规范形,正定二次型与正定矩阵。 7. 线性空间:线性空间的结构,子空间以及子空间的交与和,子空间的直和,线性空间 的同构,商空间。 8. 线性映射:线性映射及其运算,线性映射的核与象,线性映射的矩阵表示,线性变换 的特征值与特征向量,线性变换的不变子空间,Hamilton-Cayle 定理,线性变换的最小 多项式,幂零变换的结构,线性变换的 Jordan 标准形,线性函数与对偶空间。 9. 具有度量的线性空间:双线性函数,欧几里得空间,正交补和正交投影,正交变换与 对称变换,酉空间。 2.考试要求 ①了解:代数基本定理,复系数与实系数多项式的因式分解定理,高斯引理,广义逆矩 阵,线性空间的同构,正交变换。 ②理解:Laplace 展开定理,n 维向量的线性相(五)关性,矩阵的秩,矩阵的可逆性, 实二次型的分类,线性空间的维数,线性变换的值域与核,线性变换的 Jordan 标准形。 ③掌握:行列式的计算,线性方程组解的判别、求解及解的结构,求可逆矩阵的逆矩阵, 利用分块方法计算矩阵,求标准正交基,矩阵的对角化,实对称矩阵的对角化,化简二 次型的方程,二次形的正(负)定性判别,求线性空间的维数与基底,基变换与坐标变 换,子空间的交与和,子空间的直和,求线性变换的不变子空间,Hamilton-Cayle 定理, 线性变换的最小多项式,幂零变换的结构,线性变换的 Jordan 标准形,求线性映射的矩 阵表示,线性映射的特征值与特征向量,双线性函数,正交变换与对称变换, 3.参考书目 1.《高等代数》(第二版,上册),丘维声,高等教育出版社,2002 年 7 月 2.《高等代数》(第二版,下册),丘维声,高等教育出版社,2003 年 8 月
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