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成都电子科技大学
2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目 857 概率论与数理统计
注：所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、 填空题（每题 3 分，共 15 分）
1、任取一正整数，该数的平方的末位数是 1 的概率是__________.
2、 设随机变量 1 2 3, ,X X X 相互独立，其中 1X 在区间[0,6]上服从均匀分布， 2X 服从正态分
布
2
(0,2 )N ， 3X 服从参数为 3 的泊松分布，记 1 2 32 3Y X X X ,则 D（Y）
=___________.
3、 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，且 Y＝3X－2，则 E（3Y＋2）=__________.
4、 设 随 机 变 量 ,X Y 相 互 独 立 且 都 服 从 正 态 分 布
2
( 0 , 3 )N ， 而 1 2 9, , ,X X X 和
1 2 9, , ,Y Y Y 为分别来自总体X 和Y的简单随机样本，则统计量 1 2 9
2 2 2
1 2 9
X X X
U
Y Y Y
服从 ，参数为 .
5、 假设一批产品中一，二，三等品各占 60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三
等品，则取得的是一等品的概率为 .
二、 单项选择题（每题 3 分，共 15 分）
1、设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则（ ）
(A) ( ) ( ) ( ) 1P C P A P B (B) ( ) ( ) ( ) 1P C P A P B
(C) ( ) ( )P C P AB (D) ( ) ( )P C P A B
2 、 设 随 机 变 量 ,X Y 均 服 从 正 态 分 布 ，
2
( ,4 )X N ，
2
( ,5 )Y N ， 记
1 { 4}p P X ， 2 { 5}p P Y ，则（ ）
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(A)对任何实数 ，都有 1 2p p （B）对任何实数 ，都有 1 2p p
(C) 只对 的个别值，才有 1 2p p （D）对任何实数 ，都有 1 2p p .
3、如果 , 满足 ( ) ( )D D ，则必有 ( )
(A) 与 独立 (B) 与 不相关
(C) 0D (D) 0D D
4、若设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则( )
(A) X+Y 服从正态分布 (B) 2 2
X Y 服从
2
分布
(C)
2
X 和
2
Y 都服从
2
分布 (D) 2 2
/X Y 服从 F 分布
5、设 1 2, ,X X 为独立同分布序列，且 ( 1,2, )iX i 均服从参数为 4 的指数分布，当 n 比
较大时，
1
1 n
i
i
X
n
近似服从 ( ).
(A)
4
(4, )N
n
(B)
1 1
( , )
4 16
N
n
(C)
1 1
( , )
4 16
N (D) (4, )
16
n
N
三、简答题（每题 10 分，共 30 分）
1、 有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球，由甲
袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取得白球的概率。
2、假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX）为 5
小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机。
试求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布函数 F(y).
3、已知随机变量（X,Y）服从二维正态分布，并且 X 和 Y 分别服从正态分布
2
(1,3 )N 和
2
(0,4 )N ，X 和 Y 的相关系数
1
2
xy 。设
3 2
X Y
Z ，求（1）X 与 Z 的相关系数 xz ，
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（2）问 X 与 Z 是否相互独立？为什么？
四、计算与证明题（每题 15 分，共 90 分）
1、 设二维连续型随机变量（X，Y）的联合分布函数为：
( , ) ( arctan )( arctan ),
2 3
x y
F x y A B C
（1） 求系数 A，B，C 及（X，Y）的联合概率密度；
（2） 求 X，Y 的边际分布函数及边际概率密度。
2、 设参加考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩
为 66.5 分，标准差为 15 分。问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的
平均成绩为 70 分？并给出检验过程。
{ ( ) ( )}pP t n t n p
0.95 0.975
35 1.6896 2.0301
36 1.6883 2.0281
3、 设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为
1
, 1, 1
( , ) 4
0,
xy
x y
f x y
其他
证明 X,Y,不相互独立，但
2
X 和
2
Y 相互独立.
4、设 1 2, ,X X 是一列两两不相关的随机变量，又设它们的方差有界，即存在正数 C，使得
( ) , 1,2, ,iD X C i 试证明：对任意的 0 有
1 1
1 1
lim { ( ) } 0
n n
i i
n
i i
P X E X
n n
.
5、设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为
n
( )pt n p
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1 2
0.3 0.7
X
，
而 Y 的概率密度为 ( )f y ，求随机变量 U＝X＋Y 的概率密度 ( )g u 。
6、设 1 2, , , nX X X 为来自总体 ),( 2
N 的简单随机样本，记
22 2 2
1 1
1 1 1
, ( ) ,
1
n n
i i
i i
X X S X X T X S
n n n
（1）证明 T 是
2
的无偏估计量。
（2）当 0, 1 时，求 D（T）。
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