2016年成都电子科技大学688单独考试高等数学考研真题

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成都电子科技大学
2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：688 单独考试高等数学
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一、选择题（每小题 4 分，共 32 分，只有一项符合题目要求）
1. 设
ln
( )
sin

x
f x
x
，则 ( )f x 的一个可去间断点为 ………………………………（）.
( )A 0x ； ( )B 1x ； ( )C 2x ； ( )D ( ) x n n N .
2. 设 ( )f x 连续，则 2 2
0
d
( )d
d
 
x
t f x t t
x
……………………………………………（）.
( )A 2
( )xf x ; ( )B 2
( )xf x ; ( )C 2
2 ( )x f x ; ( )D 2
2 ( )x f x .
3. 设 ( )f x 在 0x  有定义且在某邻域可导，则 (0)f 为极小值的充分条件是……（）.
( )A 20
( )
lim 1



x
f x
x
； ( )B
0
( )
lim 1
x
f x
x

 ； ( )C 20
( )
lim 1
x
f x
x

  ； ( )D .
0
( )
lim 1
x
f x
x

  .
4. 设 x
e 与 x 是三阶常系数齐次线性方程 0     y ay by cy 的两个解，则……（）.
( )A 0, 1, 0  a b c ；( )B 1, 1, 0  a b c ；( )C 1, 0, 0  a b c ；( )D 1, 0, 1  a b c .
5. 设有曲面 ( )  S z x f y z：，其中 f 可导，则该曲面在任一点处的切平面的法向量
n 与向量(1,1,1) 的夹角为 ………………………………………………………………… ( ).
( ) 0 ; ( ) ( ) ;
4 3
 
A B C; ( )
2

D .
6. 交换积分次序：
2
2
1 3 9
2
0 0 1 0
d ( , )d d ( , )d
x
x
x f x y y x f x y y

     ………………… ( ).
( )A
2 2
1 9 2 2 9
0 2y 1 1
d ( , )d d ( , )d
 
   
y y
y f x y x y f x y x ；
( )B
2 2
1 9 2 9
0 y 1 1
d ( , )d d ( , )d
 
   
y y
y f x y x y f x y x ；
( )C
2 21
9 2 9
2
1
0 y 1
2
d ( , )d d ( , )d
 
   
y y
y f x y x y f x y x ；
( )D
2 21
9 2 2 9
2
1
0 2y 1
2
d ( , )d d ( , )d
 
   
y y
y f x y x y f x y x .
7. 设曲线 L 的方程为 2 2
4 4x y  (顺时针方向), 则 2 2
d d
4


L
x y y x
x y
…………… ( ).
( ) 0 ; ( ) ;A B ( ) ;C ( )
2

D .
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8. 设级数
1
( 1)


 n
n
n
u 条件收敛，则下列级数收敛的是…………………………… ( ).
( )A 2 2
1
1
( )



 n n
n
u u ； ( )B
1
n
n
u


 ； ( )C 2
1
n
n
u


 ； ( )D 2 1
1
n
n
u



 .
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
1. 30
arcsin
lim
sin


x
x x
x
.
2.
1
2
0
ln(1 )d  x x .
3. 设 ( )x x t 是由方程
2
1
d 0


 
x t
u
t e u 所确定的函数，则 (0)x  .
4. 曲线 2
cos , , 1   t
x t y e z t 在点(1,1,1)处的法平面方程为 .
5. 设 S 是 xOy 平面上满足 4 2, 0, 0   x y x y 的部分, 则曲面积分
( 2 4 ) d   S
x y z S .
6. 设曲线 L 的极坐标方程为 1 cos (0 2 )r       ，L 的线密度为 cos
2

  ，则曲线 L
的质量为 .
三、（10 分）设连续非负函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) 1 ( )f x f x x       ，求 2
2
cos
d .
1 ( )


 
x
x
f x
.
四、（10 分）确定常数 , ,a b c 的值，使
2 2
20
2 4
lim 0

    

x
ax bx c x x
x
.
五、（11 分）求微分方程 sin  y y x 滿足初始条件 (0) 0, (0) 0 y y 的特解.
六、（10 分）设函数 ( , )f x y 具有连续一阶偏导数， 1 2(1,1) 1, (1,1) , (1,1)  f f a f b ，又
( ) { , [ , ( , )]} x f x f x f x y ，求 (1), (1)  .
七、（11 分）  2 2 2
( , , ) ( , , )| 1 ,
V
f x y z dV V x y z x y z   计算三重积分，其中
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
, ,
( , , ) , 0 ,
, 0.
  


    
   

x z x y
f x y z x y z x y
x y z z
八、（10 分）求幂级数
2
1 !
n
n
n
x
n


 的收敛区间及和函数.
九、（10 分）计算曲面积分 2 2 2
d d
S
x
y z
x y z  , 其中 S 为圆柱面 2 2
=1 ( 1 1)x y z    ,
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取外侧,
十、（12 分）在变力 yz zx xy  F i j k 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
   上第一卦限的点 ( , , )M    ，问 , ,   取何值时，力 F 所作的功W 最大？并
求出功W 的最大值.
十一、（10 分）设 )(xf 在[0,1] 上 ( ) 0f x  ，证明：
1
1
0
1
( ) ( 2,3,4, ).  
  
 

n
f x dx f n
n

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