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云南大学 621-《量子力学》硕士研究生入学考试大纲
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 150 分,考试时间为 180 分钟。
二、试卷的内容结构
波函数和 Schrodinger 方程 15%-20%
一维势场中的粒子 15%-20%
力学量用算符表示 20%-25%
中心力场 5%-10%
量子力学的矩阵表示与表象变换 10%-15%
自旋 15%-20%
定态问题的近似方法 10%
多体问题 ~5%
三、试卷的题型结构
概念题 20%
证明推导 30%
分析计算题 50%
四、考察的知识及范围
本 科 目 考 试 的 重 点 是 要 求 熟 练 掌 握 波 函 数 的 物 理 解 释 ,
Schrodinger 方程的建立、基本性质和精确求解,同时掌握一些重要的
近似求解方法,理解这些解的物理意义,熟悉其实际的应用。掌握量
子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法,包括力学量的算符表示、
对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、全同性
原理和泡利原理等,并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的
能力。
1、波函数和 Schrodinger 方程
波粒二象性,量子现象的实验依据,量子力学的基本假设。波函
数及其统计解释,Schrodinger 方程,连续性方程,波包的演化,
Schrodinger 方程的定态解,态叠加原理。
了解波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实;熟练掌握波
函数的标准化条件:有限性、连续性和单值性。深入理解波函数的概
率解释。理解态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的
方法及其物理意义;熟练掌握 Schrodinger 方程的建立过程。深入了
解定态 Schrodinger 方程,定态与非定态波函数的意义及相互关系。
了解连续性方程的推导及其物理意义。
2、一维势场中的粒子
一维势场中粒子能量本征态的一般性质,一维方势阱的束缚态,
方势垒的穿透,方势阱中的反射、透射与共振,δ函数和δ势阱中的束
缚态,一维谐振子。
熟练掌握一维 Schrodinger 方程边界条件的确定和处理方法;熟
练掌握一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论,掌握一维有限深
方势阱束缚态问题的求解方法;熟练掌握势垒贯穿的求解方法及隧道
效应的解释;掌握一维有限深方势阱的反射、透射的处理方法及共振
现象的发生;熟练掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点
及其应用;了解δ函数势的处理方法。
3、力学量用算符表示
坐标及坐标函数的平均值,动量算符及动量值的分布概率,算符
的运算规则及其一般性质,厄米算符的本征值与本征函数,共同本征
函数,不确定度关系,角动量算符。连续本征函数的归一化,力学量
完全集。力学量平均值随时间的演化,量子力学的守恒量和对称性。
掌握算符的本征值和本征方程的基本概念;熟练掌握厄米算符的
基本性质及相关的定理;熟练掌握坐标算符、动量算符以及角动量算
符,包括定义式、相关的对易关系及本征值和本征函数。 熟练掌握力
学量取值的概率及平均值的计算方法;理解两个力学量同时具有确定
值的条件和共同本征函数;熟练掌握不确定度关系的形式、物理意义
及其一些简单的应用;理解力学量平均值随时间变化的规律;掌握如
何根据哈密顿算符来判断该体系的守恒量。
4、中心力场
两体问题化为单体问题,球对称势和径向方程,自由粒子和球形
方势阱,三维各向同性谐振子,氢原子及类氢离子。
熟练掌握两体问题化为单体问题及分离变量法求解三维库仑势问
题;熟练掌握氢原子和类氢离子的能谱及基态波函数以及相关的物理
量的计算;了解三维无穷球方势阱及二维、三维各向同性谐振子的基
本处理方法。
5、量子力学的矩阵表示与表象变换
量子态和力学量算符的矩阵表示,表象变换,狄拉克符号。
理解力学量所对应的算符在具体表象的矩阵表示;了解表象之间
幺正变换的意义和基本性质;掌握量子力学公式的矩阵形式及求解本
征值、本征矢的矩阵方法;了解狄拉克符号的意义及基本应用。
6、自旋
电子自旋态与自旋算符,总角动量的本征态,碱金属原子光谱的
双线结构与反常塞曼效应,电磁场中的 Schrodinger 方程,自旋单态
与三重态,光谱线的精细和超精细结构。
了解斯特恩—盖拉赫实验及其他自旋存在的实验证据,电子自旋
回转磁比率与轨道回转磁比率;熟练掌握自旋算符的对易关系和自旋
算符的矩阵形式(泡利矩阵)、与自旋相联系的测量值、概率和平均值等
的计算以及其本征值方程和本征矢的求解方法;了解电磁场中的
Schrodinger 方程和简单塞曼效应的物理机制;掌握角动量耦合(自旋
-轨道藕合)的概念、总角动量本征态的求解及碱金属原子光谱的精细
和超精细结构;熟练掌握自旋单态与三重态求解方法及物理意义。
7、定态问题的近似方法
非简并定态微扰论,变分法。
了解定态微扰论的适用范围和条件;掌握非简并定态微扰论中波
函数一级修正和能级一级、二级修正的计算;掌握变分法的基本应用。
8、多体问题
了解量子力学全同性原理及其对于多体系统波函数的限制;费米
子和波色子的基本性质和泡利原理。
五、主要参考书目:
1、量子力学教程(第三版),曾谨言,科学出版社
2、量子力学(卷Ⅰ)(第五版),曾谨言,科学出版社

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