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南京信息工程大学2012年硕士研究生入学考试
数学分析》考试大纲
 
科目代码:702
科目名称:数学分析
 
考试内容:
一、实数集与函数
1 实数集及其性质  
2 确界定义与确界原理  
3 函数概念  
4有某些特性的函数(有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数)
 
二、数列极限
1 数列极限概念  
2 收敛数列的性质(唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算)  
3 数列极限存在的条件:包括单调有界定理与柯西(Cauchy)准则
 
三、函数极限
1 函数极限概念  
2 函数极限的性质(唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算)  
3 函数极限存在的条件:包括归结原则(Heine 定理),单调有界定理与柯西准则  
4 两个重要极限  
5 无穷小量,无穷大量, 非正常极限,阶的比较,曲线的渐近线
 
四、函数的连续性
1 连续性概念,间断点及其分类  
2 连续函数的性质(有界性、保号性、连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性;闭区间上连续函数的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性) 
3 初等函数的连续性
 
五、导数与微分
1 导数的概念  
2 求导法则  
3 微分概念  
4 高阶导数与高阶微分  
5参量方程所确定的函数的导数
 
六、微分中值定理及其应用
1 中值定理(罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理)  
2 不定式极限   
3 泰勒公式(及其皮亚诺余项与拉格朗日余项、一些常用初等函数的泰勒展开式、应用于近似计算)  
4 函数的单调性、极值、最大值与最小值  
5 函数的凸性与拐点   
6 函数图象的讨论
 
七、实数完备性
1 实数集完备性的基本定理的应用  
2 闭区间上连续函数性质的证明
第八章 不定积分
1原函数与不定积分概念,基本积分公式  
2 换元积分法与分部积分法  
3 有理函数和可化为有理函数的积分
 
九、定积分
1定积分的概念及其几何意义  
2 可积条件的应用(包括必要条件,可积准则),三类可积函数  
3 定积分的性质(线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性,积分中值定理)  
4 微积分学基本定理,定积分的分部积分法与换元法
 
十、反常积分
1无穷限反常积分概念、柯西准则,绝对收敛与条件收敛   
2无穷限反常积分收敛性判别法:比较判别法及p-函数判别法,狄利克雷(Dirichlet)判别法,阿贝尔(Abel)判别法   
3无界函数反常积分概念,无界函数反常积分比较判别法及p-函数判别法
 
十一、定积分的应用
1 平面图形的面积  
2 由截面面积求体积、旋转体的体积  
3 曲线的弧长与曲率  
4 旋转曲面的面积
 
十二、数项级数
1 级数收敛的概念,柯西收敛准则,收敛级数的性质   
2 正项级数收敛判别法(比较判别法、p-级数判别法、比式与根式判别法、积分判别法)   
3 一般项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数的莱布尼兹判别法,阿贝尔(Abel)判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法,绝对收敛级数的性质
 
十三、函数列与函数项级数
1 函数列与函数项级数的一致收敛性,柯西准则,函数项级数的维尔斯特拉斯(Weierstrass)优级数判别法,狄利克雷(Dirichlet)判别法,阿贝尔(Abel)判别法  
2 函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性、可微性
 
十四、幂级数
1 幂函数的收敛性,阿贝尔定理,收敛半径与收敛域,内闭一致收敛性,和函数的分析性质  
2 函数的幂级数展开
 
十五、傅里叶级数
1 傅里叶级数的概念,三角函数系的正交性  
2 以2L为周期的函数的展开式,奇式与偶式展开   3 收敛定理的证明
 
十六、多元函数的极限与连续
1 平面点集与多元函数   
2 二元函数的极限,重极限与累次极限  
3 二元函数的连续性,有界闭域(集)上连续函数的性质
 
十七、多元函数的微分学
1偏导数与全微分概念,可微性  
2 复合函数微分法,高阶导数,高阶微分,混合偏导数与其顺序无关性  
3 方向导数与梯度
4 泰勒公式与极值问题
 
十八、隐函数定理及其应用
1隐函数的概念,隐函数定理  
2隐函数组定理,隐函数组求导、反函数组与坐标变换,函数行列式及其性质  
3 几何应用(空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线)  
4 条件极值与拉格朗日乘数法
 
十九、含参量积分
1 含参量正常积分,连续性、可积性与可微性   
2 含参量反常积分的收敛与一致收敛,柯西准则,维尔特拉斯(Weierstrass)判别法,狄利克雷(Dirichlet)判别法,阿贝尔(Abel)判别法,含参量无穷积分的连续性,可积性与可微性        
3 欧拉积分
 
二十、曲线积分
1第一型曲线积分的概念,性质和计算公式    
2第二型曲线积分的概念,性质和计算公式,两类曲线积分之间的关系
 
二十一、重积分
1 二重积分概念与性质  
2 二重积分的计算(化为累次积分),二重积分的换元法(极坐标与一般变换) 
3. 格林(Green)公式,曲线积分与路线的无关性       
3 三重积分的概念与计算,三重积分的换元法(柱坐标、球坐标与一般变换) 
4 重积分的应用(体积、曲面面积等)
 
二十二、曲面积分
1第一型曲面积分的的概念与计算    
2第二型曲面积分的概念与计算,两类曲面积分之间的关系   
3高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式
 

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