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第 1 页 ,共 2 页 浙 江 理 工 大 学 2011 年硕士学位研究生招生入学考试试题 考试科目: 高等代数 代码:912 (请考生在答题纸上答题,在此试题纸上答题无效) 一. (15 分). 证明: 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数 多项式的乘积, 那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 二. ( 10 分) 设 A 为 n 阶方阵. 证明| | 0A 的充要条件是有n 维列向量b 使得方程组 AX b 无解. 三. (20) ,a b 取何值时,方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 (2 1) 3 1 ( 3) 2 1 ax bx x ax b x x ax bx b x b 有唯一解? 有无穷多解?在有无穷多解时求解. 四. (15 分)设 1 2 , , , n 为数域 P 上 n 维空间V 的一组基, A 为 P 上m n 矩阵. 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) .m n A 为V 上一个向量组. 证明向量组 1 2 , , , m 和矩阵 A 有相同的秩. 五. (15 分)设 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( , , ) ( ) 2 2 2 .f x x x x x x x x x x x x (i) 取何值时,二次型 1 2 3 ( , , )f x x x 正定? (ii) 取何值时,二次型 1 2 3 ( , , )f x x x 负定? (iii) 2, 1 时, 1 2 3 ( , , )f x x x 分别为什么类型二次型? 六. (15 分) 叙述线性空间的定义并验证全体实数的二元数列, 对于下面定义的运算 是否构成线性空间: 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ), ( 1) ( , ) ( , ) 2 a b a b a a b b a a k k k a b ka kb a
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