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科目代码: 663 科目名称: 数学分析 共 2 页 第 页1 北京工业大学 2010 年硕士研究生入学考试试题 ★ 所有答案必须做在答题纸上,做在试题纸上无效! 共十道题,每题 15 分 一、 证明:若 0 0a a= > , 1 1 1 2 2 n n n a a a − − ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , L21 ,,=n ,则数列 { }na 收敛,求其极限。 二、 证明:若函数 )(xf 在[ , )a +∞ 上连续,且 lim[ ( )] 0 x bx f x →+∞ − = ,其中 b 为非零常数,则 )(xf 在[ , )a +∞ 上一致连续。 三、 证明:若 ( )bax ,∈∀ ,有 ( ) 0f x′′ ≥ ,则对 ( )1 2 , , nx , x x a, b∀ ∈L , 下列不等式成立 [ ]1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )n n x x x f f x f x f x n n + + +⎛ ⎞ ≤ + + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ L L . 四、 设 2 1 ( ) n n x f x n ∞ = = ∑ ,0 1x≤ ≤ . (1).证明: ( )0 1x ,∀ ∈ ,有 ( ) (1 ) (ln ) ln(1 ) ( ) ;f x f x x x c+ − + − = 常数 (2).求常数 c . 五、求极限 22 1 3lim kn n kn kn −∑=∞→ .
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