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中南大学 2002 年研究生入学考试数学分析试题
一、（共 18 分，每小题 6 分）求下列极限
（1） lim ,( 0)
n n
n nn
x x
x
x x
−
−→+∞
−
>
+
；
（2）
1
lim ( )
1
x
x
x
x→+∞
+
−
；
（3）
0
1
lim sin
A
A
xdx
A→∞ ∫ 。
二、（共 16 分，每小题 8 分）设函数
( ) sinf x
x
π
= ， (0,1)x∈
（1）证明 ( )f x 连续；
（2） ( )f x 是否一致连续？（请说明理由）。
三、（共 16 分，每小题 8 分）
（1）设 ax by
u e +
= ，求 n 阶全微分 n
d u ；
（2）设 cosu
x e θ= ， sinu
y e θ= ，变换以下方程
2 2
2 2
0
z z
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
。
四、（共 20 分，每小题 10 分）
（1）求积分
1
0
1
ln
1
dx
x−∫ ；
（2）求曲面 2 2
az x y= + ( 0)a > ，和 2 2
z x y= + 所围成的体积。
五、（共 12 分，每小题 6 分）设
1
cos
2
1
p
q
n
n
n
I
n
π
∞
=
=
+
∑ ，( 0)q >
（1）求 I 的条件收敛域；
（2）求 I 的绝对收敛域。
六、证明：积分
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