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4-1 数学分析 B(参考答案) 一. (共 24 分, 每小题 8 分) 求下列极限. 1. 1 1 ( 2) 5 lim ( 2) 5 n n n n n ; 解. 原式 ( 2 / 5) 1 1 lim ( 2)( 2 / 5) 5 5 n n n 2. lim (sin 1 sin ) x x x ; 解. sin 1 sinx x 1 1 2 sin cos 2 2 x x x x 1 1 2 sin cos 22( 1 ) x x x x . 因 1 | cos | 1 2 x x 且 1 lim 2 sin 0 2( 1 )x x x , 因此, lim (sin 1 sin ) 0 x x x . 3. 2 2 2 1 lim ( ) 1 x x x x . 解. 原式 22 2 21 212 2 2 lim[(1 ) ] e 1 xx x x x 二. (15 分) 设函数 ( )f x 在区间 I 上连续, 证明: 若对任何有理数 r I 有 ( ) 0f r , 则在 I 上 ( ) 0f x . 证明: (reductio ad absurdum) Assume IQ & 0)( Af . Take A 2 1 . Because f is continuous, 0 , when || x , Afxf 2 1 |)()(| . So that, when || x , 0 2 1 2 1 )( AAAxf . By the density of rational numbers, )( Qrr , it satisfies || r . So 0 2 1 )( Arf . It is a contradiction to 0)( rf . Hence, 0)( xf . 三. (10 分) 设 A , B 为非空有界数集, S A B . 证明: inf min{inf , inf }S A B .
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