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2007 年研究生入学考试试题
考试科目： 数学分析(A) 报考学科、专业： 应用数学
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１．(10 分) 证明：数列 n{sin } 不收敛 .
２．(10 分) 已知 (0) 0f ， (0)f 存在，求极限： ( )
0
lim
f x
x
x
．
３．(15 分) 计算积分
n
nt
n dt
t
0
1 (1 )
．
４．(15 分) 已知 ( )f x 连续， (0) (1) 0f f ， ( )f x A ，
求证： 2
( ) , [0,1]A
f x x ．
５．(10 分) 设 ( )f x 是以T 为周期的连续周期函数，求证：
（1）
0 0
( ) ( ) ( )
x T
x
x f t dt f t dt
T
也是以T 为周期的周期函数；
（2）
0 0
1 1
lim ( ) ( )
x T
x
f x dx f t dt
x T
．
６．(15 分) 设 ( )f x 在 0 [ )， 连续，
x
f x A
lim ( ) 0 ，
求证：
o
f x xdx
( ) sin 发散．
７．(15 分) 设
1
n
n
a
是收敛的正项级数，并且 n
a 单调下降收敛于零．
证明： 1
1
( )n n
n
n a a
收敛，而且 1
1 1
( )n n n
n n
n a a a
．
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