2010年苏州科技大学818高等代数考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题

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苏州科技学院
2010 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
专业：基础数学考试科目：高等代数科目代码： 818
请考生注意：试题解答务请考生做在专用 “答题纸” 上；
做在其它地方的解答将视为无效答题，不予评分。
1. （ 20 分）设    ,f x g x 不全为零，证明 : 如果       , ,f x g x d x 则
      ,
n n n
f x g x d x 。
2.（20 分）若向量  可由向量组 1 2
, , , s
   线性表示，证明：表示法唯一的充
分必要条件是 1 2
, , , s
   线性无关。
3. （20 分）设  为 n 阶实方阵，证明：      r r r       ，其中  r  表
示矩阵  的秩，  表示矩阵  的转置。
4.（20 分）设 是 n 维线性空间V 的线性变换，证明：
   1
dim dim 0V n 

  ，其中  dim V 表示线性空间V 的维数。
5.（20 分）设  是 n 维线性空间V 的线性变换，证明：若  1
, 0
n
V  

  ，但
  0
n
   ，则对任意 V  ，有   0
n
   ，并求 的核的维数。
6.（20 分）设 ,  是数域  上的 n 阶方阵， 是 n 阶单位矩阵，且      ，证
明:（1）  
1
       ；
（2）    。
7. （20 分）设 是 n 维欧氏空间V 的正交变换，V 的子空间W 是 的不变子空
间，证明：W 的正交补W 
也是 的不变子空间。
8.（10 分）证明：若 ,  都是正定矩阵，则    的根都是正数。
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