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中国科学院长春应用化学研究所
二 O 一 O 年攻读博士学位研究生入学考试试题
量子力学
一、回答下列各问题（共 30 分）
1．计算对易关系 ˆ ,L
，其中 , , ,x y z 。（6 分）
2．一粒子的波函数 ( ) ( , , )r x y z
，写出粒子位于 x x dx 间的几率。（3 分）
3．一维运动中，哈密顿量
2
( )
2
p
H V x
m
，求 , ? , ?x H p H 。（2 分）
4．设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，势阱的势能函数为
, 0,
( )
0, 0
x x a
V x
x a
试用德布罗意的驻波条件，求粒子能量的可能取值。（5 分）
5．在直角坐标体系中，证明： 2
, 0L p
，其中 L
为角动量算符， p
为动量算
符。（4 分）
6．粒子自旋处于 / 2z
s 的本征态
1
0
，试求 x
s 和 y
s 的不确定关系：
2 2
( ) ( ) ?x y
s s （5 分）
7．证明矩阵的迹与表象的选择无关，即 ˆ ˆ
i i j j
i j
u A u v A v 。（5 分）
二、（共 15 分）
质量为 m 的一个粒子在边长为a 的立方盒子中运动，粒子所受势能 ( , , )V x y z
由下式给出：
0, 0, ; 0, ; 0,
( , , )
,
x a y a z a
V x y z
others
；
（i）列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数；
（ii）假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基
态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：电子自旋为 1
2
，是费米子）；
（iii）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，系
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