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空军工程大学 2012 年博士研究生入学试题
考试科目：应用近世代数（A卷） 科目代码 3091
说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题
号，写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试
卷作废，试题必须同试卷一起交回。
1 （10 分）设 n 为大于 1 的正整数，Z 为整数集,定义 Z
的元间的关系 R 为
aRb n a b
关系 R 叫做模 n 的同余关系。
（1）证明 R 是一个等价关系。
（2）若 n=5，写出 Z 关于关系 R 的商集。
2 （10 分）叙述并证明欧拉函数公式。
3 （15 分）（1）写出群、子群和正规子群的定义。
（2）给出一个非交换群和它的子群的例子。
4 （15 分）试证明同态基本定理：设 f 是群G 到群 '
G 的满
同态， kerK f ，则
（1） '
/ K GG
‘’
。
（2）设 是G 到 / KG 的自然同态，则存在 / KG 到的 '
G 同构
使 f 。
5 （10 分）确定所有互不同构的 36 阶可换群。
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