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大连理工大学 2004 年硕士入学考试《数学分析》试题
1．叙述数列{ }na 发散的定义，并证明数列{ }cosn 发散．
2．设 在[ , 上连续，对( )f x ]a b [ , ]x a b∈ ，定义 ( ) inf ( )
a t x
m x f t
≤ ≤
= ．证明： 在[ , 上连续．( )m x ]a b
3．设 在 内可导，且( )f x (- , )c∞ lim ( ) lim ( )
x x c
f x f x
→−∞ → −
A= = ．求证：存在一点 ( ,c)ξ ∈ −∞ 使得
'( ) 0f ξ = ．
4．设 在 (0 上连续，可导，并且( )f x ,1]
3
2
0
lim '( )
x
x f x
→ +
存在．求证： 在 (0 上一致连续．( )f x ,1]
5．设 ， 且有0na > 1,2, ,n =
1
lim ( 1) 0n
n
n
a
n
a→∞
+
c− = > ，求证： 收敛．
1
1
( 1)n
n
n
a
∞
+
=
−∑
6．求级数
2
1
1
2n
n n∞
=
+ +
∑ 的和．
7．设 在[0 上二阶可导，且有( )f x ,1] (0) (1) 0f f= = ，
[0,1]
1
min ( )
2x
f x
∈
= − ．证明：存在 (0,1)ξ ∈ ，
使得 ''( ) 4f ξ ≥ ．
8．证明：对于任意 0α > ，广义积分 关于
2
( )
0
sinx
e tα
+∞
− +
∫ dx (0, )t ∈ +∞ 一致收敛．
9．设二元函数 在[ , 上连续，函数列( , )f x y ] [ , ]a b c d× ( )n xϕ 在[ , 上一致收敛，且]a b ( )na xϕ≤ ≤
b ，函数列 ( )n xψ 在[ , 上一致收敛，且]a b ( )nc x dψ≤ ≤ ，求证：函数列 ( ( ), ( ))n n nF f x xϕ ψ=
在[ , 上一致收敛．]a b
10．设 在[0 上可积，且在( )f x ,1] 1x = 处连续，证明：
1
0
lim ( ) (1)n
n
x f x dx f
→∞
=∫ ．
11．设 是实对称正定矩阵，3 3( )ijA a ×= Ω 是椭球体：
3
, 1
1ij i j
i j
a x x
=
≤∑ ，求 Ω 的体积．
12．设 ( )ijA a= 为 阶实对称方阵，定义n n
R 上齐二次函数 ．证明：函数
在条件 下的最小值是
, 1
( )
n
ij i j
i j
h x a x x
=
= ∑ ( )h x
2
1
1
n
i
i
x
=
=∑ A 的最小特征值．
13．计算积分：
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )I y z dx z x dy x y dz
Γ
= − + − + −∫ ，其中 Γ 为平面
3
2
x y z+ + = 和
立方体 0 ,0 ,0x a y a z≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ a 的交线，站在第一象限
3
2
x y z+ + > 处看 为逆时针方向．Γ
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