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湖南师大 2001 年高等代数考研试题
一.(10 分)证明:若 3
( 1) | ( ),x f x 则 3 3
( 1) | ( ).x f x
二.(10 分)在 [ ]Q x 内分解因式 8
( ) 4f x x ,并证明你的分解式中,所有 ( )f x 的因式都是不
可约的.
三.(8 分)计算行列式
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
d .
四.(10 分)设 1 2
, , , s
为矩阵 A 的行向量组, 1 2
, , , t
为矩阵 B 的行向量组,证明:如
果齐次线性方程组 AX=O 的每个解都是 BX=O 的解,则 1 2
, , , t
可经 1 2
, , , s
线性
表示.
五.(10 分)若方阵 A,C 可逆,证明:
B A
X
C O
可逆,并求出 1
X
.
六.(12 分)设 n 阶方阵 A,B 及C AB BA ,且 BC C B ,又设 ( ) [ ],f x Q x 证明:
(1)C E (单位矩阵);
(2) 1k k k
AB B A kB C
(3)计算 ( ) ( )Af B f B A 并化简.
七.(10 分)设 ( )ij n n
A a
是一个正定矩阵,证明 B 和 BAB 都是正定矩阵,其中对角矩阵
11
22
1
1
1
nn
a
aB
a
.
八.(12 分)设 W 是 n 维线性空间 V 的一个非平凡子空间,证明:
(1)存在 V 的一个子空间 U,使V W U ;
(2)满足上式的子空间 U 不是唯一的.
九.(8 分)设 V是复数域上的 n 维向量空间,A,B 是 V的线性变换,且 AB=BA,证明:A 的每个特
征子空间都是 B 的不变子空间.
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