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华南理工大学
2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（请在答题纸上做答，试卷上做答无效，试后本卷必须与答题纸一同交回）
科目名称：量子力学
适用专业：凝聚态物理
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)
本试题共 5 大题，每题 30 分
1. 质量 m 为的粒子在一维无限深势阱 ( )
0 (0 )
( 0,
x a
V x
x x a
< ⎩
中运动，
(a) 求解能量本征值和本征函数.
(b) 若粒子所处状态的波函数 ( ) 24
sin cos
x x
x
a aa
π π
ψ = ，将此波函数用(a)
求得的本征函数展开，并求测量粒子能量时可能得到的值及相应的几率.
(c) 若 时粒子处于(b)所描述的状态，求其后任一时刻的波函数0t = ( ),x tψ .
2. 厄米算符 A 的定义为 ( , ) ( , )A Aψ φ ψ φ= .
(a) 证明：厄米算符的本征值必为实数值.
(b) 证明：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
(c) 以角动量 分量算符z ˆ
zl i
ϕ
∂
= −
∂
h 为例，验证以上两条定理。
3. 质量为 m 的粒子沿 x 方向穿越 ( ) ( )V x xαδ= 的势垒 ( 0)α > ，
(a) 对定态 Schrodinger 方程在 x=0 的邻域积分，导出波函数一阶导数的跃变条件.
(b) 求势垒以外 Schrodinger 方程的通解.
(c) 考虑粒子从左边入射，利用(a)和(b)的结果求粒子穿越δ 势垒时的透射
系数 T 和反射系数 R,并验证 T+R=1.
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