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昆明理工大学 2009 年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)
考试科目代码：609
考试科目名称 ：数学分析
试题适用招生专业 ：计算数学,应用数学,系统理论,系统分析与集成
考生答题须知
1． 所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2． 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4． 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
1、 证明 Axf
x
)(lim 的充分必要条件是
Axf
x
)(lim )(lim xf
x
.(12 分)
2、 用定义证明 2
)( xxf 在 ),0[ 上连续而非一致连续. (16 分)
3、 证明：当
2
0
x 时， xx sin
2
.(14 分)
4、 设
2
1
1
sin
arccos
)1(
x
x
x
ex
y
x
，求
dx
dy
.(10 分)
5、 设 )(xf 在 ),( 内具有连续导数且 0)( xf ，试证明
x
dttxfxy
0
)()( 有唯一驻点，且该
驻点为 )(xf 的极值点. (10 分)
6、 设
1 2
sin
)(
n
n
nx
xf ， )1( 证明： )(xf 在 ),( 上一致收敛； )2( 计算
0
)( dxxf .(16 分)
7、 将函数 1)( xxf ， )20( x 展成周期为 4 的余弦级数. (12 分)
8、 若函数 ),( yxfz 具有二阶连续导数且满足 Laplace 方程 02
2
2
2
y
z
x
z
，证明函数
)2,(
22
xyyxfz 也满足 Laplace 方程. (14 分)
9、 证明曲面 1111
n
n
n
n
n
n
n
n
azyx ， )0,(
aZn 上任意点处的切平面在坐标轴上的截距
的 n 次方之和为
n
a .(12 分)
10、设一元函数 )(uf 在 1,1 上连续，证明
1
1
2
)1)(()( duuufdxdydzzf ，其中
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