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南京农业大学
2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
本试题共 1 页,第 1 页
试题编号：422 试题名称：高等代数
注意：答题一律答在答题纸上，答在草稿纸或试卷上一律无效
一 填充题（65 分=30 分）
1．多项式 x3
6x2
+15x14 的有理根为 。
2．
011
012
111
的逆矩阵为 。
3．已知二阶方阵 A 的特征值为1=2，2=3，对应的特征向量分别为 X1=(1，2)
'
，X2=(3，4)
'
。
则 A= 。
4．当 a= 时，向量组1=(a，1，3，11)，2=(1，3，1，3)，3=(1，2，1，4)的秩为 2。
5．设 f(x1，x2，x3) = x1
2
+4x2
2
+4x3
2
+2x1x22x1x3+4x2x3 正定，则的取值范围是 。
6．设在空间 P[x]n 中，变换 А 为 f(x) f(x+1) f(x)。求变换 А 在基0=1，i=
!
)1()1(
i
ixxx
(i=1，
2，…，n1)下的矩阵。
二（15 分）证明：x
m
1 整除 x
n
1 的充要条件是 m 整除 n。
三（15 分）设 aij，bij 分别为 n 阶行列式 detA，detB 的元素，而且满足 bij=
n
k
ik
a
1
aij(i=1，2，…，
n；j=1，2，…，n)，求证 detB=(1)
m
(n1)detA。
四（15 分）设 nm 实矩阵 A 的秩为 m，B 为 n 阶正定矩阵，证明矩阵 A
'
BA 可逆。这里 A
'
是 A 的
转置矩阵。
五（15 分）设 V 是一个 n 维欧氏空间，1，2，…，n 是 V 的一个标准正交基，是 V 的一个线
性变换，A=( aij)是在这个基下的矩阵，证明：(i ，j)= aji，i，j=1，2，…，n。
六（15 分）若 D=(dij) nn，定义 TrD=
n
i
ii
d
1
。设
010
001
133
A
（1） 求 TrA
k
，k=1，2，…。 （2） 证明 A 不相似于任一对角阵。
七（15 分）实数0 是 A
A 的特征值的充要条件是存在非零向量 X，使 A
X = X。这里 A 是复
方阵，
A 是 A 的共轭阵。
八（15 分）设0 是线性方程组的一个解，1，2…，t 是它的导出方程组的一个基础解系，令1=0，
2=1+0，…，t+1=t+0，证明线性方程组的任一个解，都可表成=u11+ u22+…+ut+1t+1，其中 u1+
u2+…+ut+1=1。
九（15 分）设 f(x)是数域 P 上的多项式，而且有 f(x)= (x) (x)，( (x) ， (x))=1。又设 V 为 P 上
n 维线性空间，T 为 V 的一个线性变换，K 为 f(T)的核，W1 为 (T)的核，W2 为 (T)的核，求证：
K= W1 W2。
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