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青 岛 科 技 大 学 二 O 一一年硕士研究生入学考试试题 考试科目:高等代数 注意事项:1.本试卷共 7 道大题(共 7 道小题),满分 150 分; 2.本卷属试题卷,答题另有答题卷,答案一律写在答题卷上,写在该试题卷 上或草纸上均无效。要注意试卷清洁,不要在试卷上涂划; 3.必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题,其它均无效。 ﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ 一(20 分) 证明两个数字矩阵 A , B 相似的必要条件是它们有相同的特征多项式和相同的最小多项 式. 二(20 分) 设 A , B , C 为任意三个矩阵,乘积 ABC 有意义,求证: )()()()( BrBCrABrABCr 三(20 分) A , B 分别是 mn 和 nm 矩阵,证明 |||| BAEABE EA BE mn n m . 四(20 分) 设 AXXxxxf n ' 21 ),,,( 为 n 元实二次型,如果有两个向量 1 X , n RX 2 ,使 .0)(,0)( 21 XfXf 证 明 存 在 两 个 线 性 无 关 的 向 量 n RYY 21 , , 使 .0)()( 21 YfYf 五(20 分) 设V 是复数域上的 n 维线性空间,A,B 是V 的线性变换,且 AB=BA,证明: 1 如果 0 是 A 的一个特征值,那么 0V (特征子空间)是 B 的不变子空间; 2 A,B 至少有一个公共的特征向量。 六(20 分) 第 1 页(共 2 页)
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