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科目代码：409 请在答题纸（本）上做题， 在此试卷及草入纸上做题无效！
山东科技大学 2005 年招收硕士学位研究生入学考试
线 性 代 数 试 卷
（ 共 2 页 ）
一、（20 分，每小题 10 分）计算下列行列式
b
b
a
a
D
1111
1111
1111
1111
)1(
0
1000
0100
0010
0001
)2(
321
3
2
1
1
n
n
n
aaaa
b
b
b
b
D
二、（16 分）设 ,
2000
1200
3120
4312
,
1000
1100
0110
0011
CB
且矩阵 A 满足关系式 ECBCW
)1
，求 A。
三、（30 分，每小题 15 分）证明题
（1）设 A 为 n 阶方阵， )(
2
1
EAB ，试证 BB 2
的充要条件是 EA 2
。
（2）假设 A 与 B 都可逆，度证
0
0
B
A
可逆，并且
0
0
0
0
1
11
A
B
B
A
。
四、（24 分，每小题 6 分）设 ),0,0,1,1(),0,1,1,1(),1,1,0,0( 321 aaa
)1,1,0,0(),0,1,0,0( 54 aa 。
第 1 页
（1）判断 54321 ,,, aaaaa 的线性相关性，若线性相关，求出相关系数；
（2）求秩 ),,,( 54321 aaaaa 及秩 ),( 543 aaa ；
（3）判断 321 ,, aaa 及 421 ,, aaa 的线性相关性；
（4）求 54321 ,,, aaaaa 的全部极大无关组。
五、（15 分）求 a，使线性方程组
axxxx
xxxx
xxxx
4321
4321
4321
1147
24
12
有解，并求解。
六、（15 分）设矩阵 A 为：
022
240
220
A
求 A 的特征值与特征向量。
七、（15 分）设 A 为正交矩阵，且 1A ，试证：A 的每一个元素都等于它自已的代
数余子式。
八、（15 分）设二次型 323121
2
3
2
2
2
1 4225 xxxxxtxxxxf 是正定的，试确定
t 的取值范围。
第 2 页
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