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一、求下列极限（每题 5 分，共 20 分）：
1． )3(1lim nnn
n
2． x
x
x ln1
1
0
)(sinlim
3． )0(
21
lim 1
p
n
n
p
ppp
n
， 4．
x
x
dtt
x 0
2
30
)sin(
1
lim
二、求导数与高阶导数（每题 5 分，共 20 分）：
1． 已知
x
xy sin
，求 'y 。 2．已知
2
1
1
x
y
，求
)(n
y 。
x 的函数，求
dx
dy
。3．由方程 确定了
1
3
0 2
2
0)cos(
x
y
t
dttdte y 是
4．已知 ，求二阶微分 。xxy 2cos2
yd 2
三、计算不定积分和定积分（每题 5 分，共 20 分）：
1． 2．xdxx arctan2
dx
xx )1(
1
5
3． dxx 4
0
)tan1ln(
4．已知
0 2
sin
dx
x
x ，计算 dx
x
x
0 2
2
sin
。
四、证明下面结论（每题 5 分，共 15 分）：
1． 1]}
2
cos
2
cos
2
cos[coslim{lim 20
nnx
xxx
x 。
2．当
2
0
x 时，证明不等式： xxx 2tansin 。
3．证明：当 在 上可积时，存在)(xf ],[ ba ],[ ba ，
a
b
dxxfdxxf )(2)( 。
五、求解下列各题（每题 6 分，共 24 分）：
1．已知 z
y
xu ,求
yx
u
2
。 2．求幂级数 的和函数。
n
n
xn
1
2
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