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山东理工大学 2008 年硕士研究生入学考试试题(A 卷) 注意事项:本试题的答案必须写在规定的答题纸上,写在试题上不给分。 考试科目:数学分析 一、计算下列各题(每小题 8 分,共 24 分) 1. 1 0 1 lim x x x e x→ + −( ) . 2. 设 0 2 ( )d , 0 ,( ) , 0 . x tf t t xF x x C x ≠= = ∫ 其中 ( )f x 连续且 (0) 1f = ,试确定C ,使 ( )F x 连续. 3. 2 0 cos d sin cos π θ θ θ θ+∫ . 二、(10 分)设 ( )f x 在[ , ]a b 上连续,在( , )a b 内可导0 a b≤ < , ( ) ( )f a f b≠ . 试证:存在 ( , )a bξ ∈ 、 ( , )a bη ∈ ,使得 ( ) ( ) 2 a b f fξ η η + ′ ′= . 三、(16 分)设 ( )f x 在[ , ]a b 上具有连续的导数,且 ( ) 0f a = ,试证 ( ) 2 ( ) ( ) d ( ) d 2 b b a a b a f x f x x f x x − ′ ′≤∫ ∫ . 四、(10 分)求幂级数 1 ( 1) n n n n x ∞ = +∑ 的和函数. 五、(10 分)设 ( , )u x y 的所有二阶偏导数都连续,且 2 2 2 2 0 u u x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ , ( , 2 )u x x x= , 2 ( , 2 )xu x x x′ = . 求 ( , 2 )xxu x x′′ , ( , 2 )xyu x x′′ , ( , 2 )yyu x x′′ . 共 2 页,第 1 页
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