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中国科大 2010 年数学分析考研试题的解答
一 证明 利用不等式
pp q
a b a b ， ( , 0,0 1)a b p 得
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )g x g x f x f x f x f x
， 1 2
, [0, )x x
再由 ( ) :[0, ) [0, )f x 是一致连续的，即可得到 ( ) ( ( ))g x f x
在[0, ) 上是
一致连续的。
二 证明 令 ( ) ( , )t f t x t y ， ( , ) (0,0)x y
由题设条件， ( )t 可导， 0t ，
( , ) (0,0)f x y f
(1) (0)
( )
( , ) ( , )f x y f x y
x y
x y
，
由此，再由条件，即得
2 2( , ) (0,0 )
( , ) (0, 0) 0 0
lim 0
x y
f x y f x y
x y
，
故 ( , )f x y 在 (0,0) 处可微。
三 证明 由题设条件，显然 1, ( 0,1, 2,...)n
x n
1 2
1
( ) ( )
2 2
n n
n n n n
x x
x y x x
1
1 2
1
1
2
n n
n n
n n
x x
x x
x x
1 1 2
1 1
26
n n n n
x x x x
1 1 2
1 1
( ) max{ , }
26
n n n n
x x x x
( 3, 4,...)n
由此推得
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