2021年南京信息工程大学《数学分析》硕士研究生同等学力考试大纲
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南京信息工程大学硕士研究生招生入学考试

考试大纲

 

科目代码:T65

科目名称:数学分析

 

第一部分  目标与基本要求

1. 掌握数学分析的基本概念,了解数学分析的发展历史,掌握科学的思想和方法;

2. 掌握数学分析的基本方法,具备严谨的数学语言表达能力、逻辑思维能力与数学运算能力,养成认真、求实、勤奋良好的教学科研精神与学风;

3. 掌握数学分析的基本理论,培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及运算能力,养成反思和独立思考的习惯,为后继课程学习打下坚实的基础;

4. 培养建立数学模型的能力以及综合运用数学分析知识去分析和解决问题的能力,体会和领悟数学的简洁性与深刻性,提高数学思维能力和科学素养,具备一定的科学研究能力。培养反思及自主学习能力。

 

第二部分 内容与考核目标

一、实数集与函数

1 理解实数集及其性质   2 掌握确界定义与确界原理   3 掌握函数概念   4掌握有某些特性的函数(有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数)

 

二、数列极限

1 掌握数列极限概念   2 掌握收敛数列的性质(唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算)   3 掌握数列极限存在的条件:包括单调有界定理与柯西(Cauchy)准则

 

三、函数极限

1 掌握函数极限概念   2 掌握函数极限的性质(唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算)   3掌握 函数极限存在的条件:包括归结原则(Heine 定理),单调有界定理与柯西准则   4 掌握两个重要极限   5 掌握无穷小量,无穷大量, 理解非正常极限,掌握阶的比较,掌握曲线的渐近线

 

四、函数的连续性

1 掌握连续性概念,间断点及其分类   2 掌握连续函数的性质(有界性、保号性、连续函数的四则运算、理解复合函数的连续性、理解反函数的连续性;闭区间上连续函数的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性)3 理解实数集完备性的基本定理的应用   4 掌握初等函数的连续性

 

五、导数与微分

1 掌握导数的概念   2 掌握求导法则   3 掌握微分概念   4 掌握高阶导数与高阶微分   5掌握参量方程所确定的函数的导数

 

六、微分中值定理及其应用

1 掌握中值定理(罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理)   2掌握不定式极限    3 掌握泰勒公式(及其皮亚诺余项与拉格朗日余项、一些常用初等函数的泰勒展开式、了解应用于近似计算)   4 掌握函数的单调性、极值、最大值与最小值   5掌握函数的凸性与拐点    6 理解函数图象的讨论

 

七  不定积分

1掌握原函数与不定积分概念,基本积分公式   2 掌握换元积分法与分部积分法   3 掌握有理函数和可化为有理函数的积分

 

八、定积分

1掌握定积分的概念及其几何意义   2 掌握可积条件的应用(包括必要条件,可积准则),掌握三类可积函数   3 掌握定积分的性质(线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性,积分中值定理)   4 掌握微积分学基本定理,定积分的分部积分法与换元法

 

九、反常积分

1掌握无穷限反常积分概念、柯西准则,绝对收敛与条件收敛    2掌握无穷限反常积分收敛性判别法:比较判别法及p-函数判别法,狄利克雷(Dirichlet)判别法,阿贝尔(Abel)判别法    3掌握无界函数反常积分概念,无界函数反常积分比较判别法及p-函数判别法

 

十、定积分的应用

1 掌握平面图形的面积   2 掌握由截面面积求体积、旋转体的体积   3 掌握曲线的弧长与了解曲率   4 掌握旋转曲面的面积

 

十一、数项级数

1 掌握级数收敛的概念,柯西收敛准则,收敛级数的性质    2 掌握正项级数收敛判别法(比较判别法、p-级数判别法、比式与根式判别法、积分判别法)    3 掌握一般项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数的莱布尼兹判别法,阿贝尔(Abel)判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法,理解绝对收敛级数的性质

十二、函数列与函数项级数

1 掌握函数列与函数项级数的一致收敛性,柯西准则,函数项级数的维尔斯特拉斯(Weierstrass)优级数判别法,狄利克雷(Dirichlet)判别法,阿贝尔(Abel)判别法   2 掌握函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性、可微性

 

十三、幂级数

1 掌握幂函数的收敛性,阿贝尔定理,收敛半径与收敛域,内闭一致收敛性,和函数的分析性质   2 掌握函数的幂级数展开

 

十四、傅里叶级数

1 理解傅里叶级数的概念,三角函数系的正交性   2 掌握以2L为周期的函数的展开式,奇式与偶式展开   3 了解收敛定理的证明

 

十五、多元函数的极限与连续

1理解平面点集与多元函数    2 掌握二元函数的极限,重极限与累次极限   3 理解二元函数的连续性,有界闭域(集)上连续函数的性质

 

十六、多元函数的微分学

1掌握偏导数与全微分概念,可微性   2 掌握复合函数微分法,高阶导数,高阶微分,混合偏导数与其顺序无关性   3 掌握方向导数与梯度  4 掌握泰勒公式与极值问题

 

十七、隐函数定理及其应用

1理解隐函数的概念,隐函数定理   2掌握隐函数组定理,隐函数组求导、反函数组与坐标变换,函数行列式及其性质   3 掌握几何应用(空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线)   4 掌握条件极值与拉格朗日乘数法

 

十八、含参量积分

1 掌握含参量正常积分,连续性、可积性与可微性    2 掌握含参量反常积分的收敛与一致收敛,柯西准则,维尔特拉斯(Weierstrass)判别法,狄利克雷(Dirichlet)判别法,阿贝尔(Abel)判别法,含参量无穷积分的连续性,可积性与可微性        3 理解欧拉积分

 

十九、曲线积分

1掌握第一型曲线积分的概念,性质和计算公式     2掌握第二型曲线积分的概念,性质和计算公式,两类曲线积分之间的关系

 

二十、重积分

1 掌握二重积分概念与性质   2 掌握二重积分的计算(化为累次积分),二重积分的换元法(极坐标与一般变换)  3. 掌握格林(Green)公式,曲线积分与路线的无关性        3 掌握三重积分的概念与计算,三重积分的换元法(柱坐标、球坐标与一般变换)  4 理解重积分的应用(体积、曲面面积等)

 

二十一、曲面积分

1理解第一型曲面积分的的概念与计算    2掌握第二型曲面积分的概念与计算,理解两类曲面积分之间的关系    3掌握高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式

第三部分  有关说明与实施要求

1.基本要求:掌握数学分析中的基本概念,理解考试范围内的各种微积分思想,掌握处理问题分析的基本方法、基本原理,具有运用数学分析方法解决实际问题的基本能力。

2.命题说明:分值比例:“了解”占15%,“理解”占40%,“掌握”占45%;题型为解答题和证明题。

3.参考书目:

(1)梅加强, 数学分析, 高等教育出版社, 2011.

(2)裴礼文,数学分析中的典型问题与方法(第二版),高等教育出版社, 2006.

(3)华东师范大学数学系编,数学分析(第四版),高等教育出版社, 2013.

4. 其他规定:考试方式为闭卷笔试,总分100分,考试时间为120分钟。

 

 

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