2021年西北师范大学硕士研究生招生考试大纲

硕士研究生入学考试

同等学力加试

泛函分析 考试大纲

 (科目代码： )

学院名称(盖章)：    数学与统计学院     

学院负责人(签字)：                         

编  制  时  间：  2019年 7 月3 日  

泛函分析 考试大纲

第一章  度量空间与线性赋范空间

    考试要点：

    度量空间的概念，例子；度量空间中的收敛性与连续性；稠密性；可分性；Cauchy列与度量空间的完备性；压缩映像原理及其应用；线性赋范空间的概念，例子；Banach空间的概念。

    考试内容：

    第一节  度量空间的概念与例子 

    距离及度量空间的定义；例子（欧氏空间 ；连续函数空间 ；数列空间 等）。

    第二节  度量空间中的极限 稠密性 可分空间 

    领域的概念；收敛点列；有界集；具体空间中收敛性的意义；稠密性与可分空间的概念；不可分空间的例子。

第三节       连续映射 

映射连续性的各种定义及其等价性。

第四节       Cauchy点列与完备度量空间  

    度量空间中Cauchy点列的概念；完备度量空间的定义；完备度量空间与不完备度量空间的各类例子；度量空间闭子空间的完备性。

第五节       度量空间的完备化  

     等距同构；度量空间的完备化定理；

第六节       压缩映像原理及其应用 

压缩映像的定义；压缩映像原理；在隐函数定理及常微分方程中的应用。

第七节       线性空间  

     本节内容为线性空间的基本概念。因学生已在高等代数课程中学过有限维空间的有关内容，故只需简要回顾并强调无限维线性空间的特征即可。

第八节   线性赋范空间和Banach空间  

     范数，线性赋范空间和Banach空间的概念；依范数收敛； 空间； 空间； 空间； 空间； 空间； 空间；有限维赋范空间的拓扑同构性。

    考核要求：

    掌握度量空间，线性赋范空间和Banach空间的概念和性质；掌握映射连续性，度量空间的完备性等概念；熟悉 空间， 空间， 空间， 空间， 空间， 空间；透彻理解压缩映像原理及其简单应用。能独立解答基本的习题。

第二章  线性有界算子和线性连续泛函

    考试要点：

    线性有界算子，线性连续泛函，线性算子空间，共轭空间。

    考试内容：

    第一节  线性有界算子与线性连续泛函 

    线性有界算子与线性连续泛函的概念，例子，有界与连续的等价性，线性有界算子零空间的性质，算子范数。

    第二节  线性算子空间和共轭空间 

    线性算子空间的结构及其完备性，共轭空间，保距算子，同构映照，同构，一些具体空间的共轭空间。

     考核要求：

    掌握线性有界算子，线性连续泛函，有界性，连续性，算子范数，共轭空间，保距算子，同构映照，同构等基本概念；掌握有界与连续的等价性定理，基本定理；能够计算简单的算子范数和一些具体空间的共轭空间。能独立解答基本的习题。

第三章  内积空间和Hilbert空间

    考试要点：

    内积空间，投影定理，Hilbert空间，就范直交系，Hilbert空间上线性连续泛函的表示。

    考试内容：

    第一节  内积空间的基本概念 

    内积空间与Hilbert空间的定义，平行四边形公式，内积空间的判定。

    第二节  投影定理 

    点到集合的距离，凸集，极小化向量定理，集合的正交，Hilbert空间的正交分解，投影算子及其性质。

第三节       Hilbert空间中的就范直交系

    就范直交系，Fourier系数集，Bessel不等式，Parseval恒等式，完全就范直交系的定义与判定,  Fourier展式，Gram-Schmidt正交化过程，Hilbert空间的同构。

第四节       Hilbert空间上的线性连续泛函 

Riesz表示定理，共轭算子及其性质。

第五节       自伴算子、 酉算子和正常算子

自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念与简单性质。

    考核要求：

    掌握内积空间，Hilbert空间，平行四边形公式，就范直交系，Bessel不等式，Parseval恒等式，Fourier展式，投影算子，共轭算子，自伴算子，酉算子和正常算子等基本概念；掌握极小化向量定理，投影定理，完全就范直交系的判定定理,  Riesz表示定理等基本定理的内容与证明；能独立解答基本的习题。

 第四章  Banach空间中的基本定理

    考试要点：

    Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，线性赋范空间中的共轭算子，   

第一节       泛函延拓定理 

次线性泛函，Hahn-Banach泛函延拓定理的实形式、复形式及其推论。

第二节       的共轭空间、Riesz表示定理

第三节       共轭算子 

第四节       线性赋范空间中共轭算子的定义及性质。

第五节       纲定理和一致有界性定理 

第一纲集，第二纲集，Baire纲定理,  一致有界性定理强收敛、弱收敛和一致收敛 

    强收敛、弱收敛、弱*收敛和一致收敛的定义，例子，相互关系，强收敛的充要条件。

第六节       逆算子定理 

    逆算子定理及其证明。

第七节       闭图象定理  

    线性算子的图象，闭算子，闭图象定理。

    考核要求：

    掌握本章涉及到的所有基本概念，基本定理；由于Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，Baire纲定理，逆算子定理，闭图象定理是泛函分析基础理论的主要构成部分，要求熟练掌握这些内容；能独立解答基本的习题。

                          第五章  线性算子的谱

    考试要点：

    简要介绍线性算子的谱的概念，基本性质。

    谱的概念 

正则算子，正则点，正则集，谱点，特征值，特征向量，点谱，连续谱，例子。

第一节       线性有界算子谱的基本性质 

谱集的闭性。

    考核要求：

    了解线性算子的谱的概念，基本性质。

    三、参考书目

    1、 程其襄等，《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社， 1983， 第一版。

2、 王声望， 郑维行，《实变函数与泛函分析概要》，第二册，高等教育出版社，1992，第二版。

3、 夏道行等，《实变函数论与泛函分析》，下册，高等教育出版社， 1985，第二版。