《函数的应用》教案设计意图(十四篇)

作为一名默默奉献的教育工作者，通常需要用到教案来辅助教学，借助教案可以让教学工作更科学化。优秀的教案都具备一些什么特点呢？又该怎么写呢？下面是小编整理的优秀教案范文，欢迎阅读分享，希望对大家有所帮助。

《函数的应用》教案设计意图篇一

①掌握对数函数的性质。

②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值 域及单调性。

③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。

对数函数的性质的应用。

对数函数的概念及性质。

1 比较数的大小

例 1 比较下列各组数的大小。

⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл

师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？

生：这两个对数底相等。

师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？

生：可构造一个以a为底的`对数函数，用对数函数的单调性比大小。

师：对，请叙述一下这道题的解题过程。

生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0

调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数y=logax单调递

增，所以loga5.1

板书：

解：�。┑�0

∵5.1<5.9 loga5.1="">loga5.9

��）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，

∵5.1<5.9 ∴loga5.1

师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？

生：这三个对数底、真数都不相等。

师：那么对于这三个对数如何比大小？

生：找“中间量”， log0.50.6>0，lnл>0，logл0.5<0；lnл>1，

log0.50.6<1，所以logл0.5< log0.50.6< lnл。

板书：略。

师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函

数 的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数

函数图象的位置关系来比大小。

2 函数的定义域, 值 域及单调性。

例 2 ⑴求函数y=的定义域。

⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)

师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要

使函数有意义。若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式，

被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于

零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求

它们共同作用的结果。）

生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0，且真数x>0。

板书：

解：∵ 2x-1≠0 x≠0.5

log0.8x-1≥0 ， x≤0.8

x>0 x>0

∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕

师：接下来我们一起来解这个不等式。

分析：要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义，即真数大于零，

再根据对数函数的单调性求解。

师：请你写一下这道题的解题过程。

生：<板书>

解： x2+2x-3>0 x<-3 x="">1

(3x+3)>0 , x>-1

x2+2x-3<(3x+3) -2

不等式的解为：1

例 3 求下列函数的值域和单调区间。

⑴y=log0.5(x- x2)

⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)

师：求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。

下面请同学们来解⑴。

生：此函数可看作是由y= log0.5u, u= x- x2复合而成。

《函数的应用》教案设计意图篇二

1、能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．

(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．

(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．

2、通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．

3、通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．

（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的`实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．

（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．

教法建议

（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．

（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．

（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．

教学设计示例

函数初步应用

1、能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．

2、通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力

3、通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．

重点是应用问题的阅读分析和解决．

难点是根据实际问题建立相应的数学模型

师生互动式

教学用具

投影仪

教学过程b

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．

问题一：如图，△是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书)

(作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)

首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．

当时(采用直接计算的方法)

当时(板书)

(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)

综上！

此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)

问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．

下面我们一起看第二个问题

问题二：某工厂制定了从1999年底开始到20xx年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)

首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．

设1999年总产值为，第一步让学生依次说出20xx年到20xx年的年总产值，它们分别为：

20xx年20xx年

20xx年20xx年

20xx年20xx年(板书)

第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值

=++

=．

=++

=．(板书)

第三步计算增长率．

．(板书)

计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．

总结后再提出最后一个问题

问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．

(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;

(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)

题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．

解：．(板书)

完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即

(2)若使利润最大应满足

同时成立即解得

当或时，有最大值．

由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．

通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．

2．9函数初步应用

问题一：

解：

问题二

分析

问题三

分析

小结：

《函数的应用》教案设计意图篇三

1、能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题

2、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。

3、在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型。

重点：能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题

难点：根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式

为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:

(1)药物燃烧时,y关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______.

(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室;

(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?

例1、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文。

（1）如果小明以每分种120字的速度录入，他需要多少时间才能完成录入任务？

（2）录入文字的速度v（字/min）与完成录入的时间t(min)有怎样的函数关系？

（3）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？

例2某自来水公司计划新建一个容积为 的长方形蓄水池。

（1）蓄水池的底部s 与其深度 有怎样的函数关系？

（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？

（3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长与宽最多只能设计为100m和60m，那么蓄水池的`深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）

1、一定质量的氧气,它的密度 (kg/m3)是它的体积v( m3) 的反比例函数, 当v=10m3时,=1.43kg/m3. (1)求与v的函数关系式；(2)求当v=2m3时求氧气的密度.

2、某地上年度电价为0.8元度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55元至0.75元之间.经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元)成反比例,当x=0.65时,y=-0.8.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%? [收益=(实际电价－成本价)(用电量)]

3、如图,矩形abcd中,ab=6,ad=8,点p在bc边上移动(不与点b、c重合),设pa=x,点d到pa的距离de=y.求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围.

30.31、2、3

《函数的应用》教案设计意图篇四

利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。

利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。

在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。

运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。

分组复习旧知。

探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？

可引导学生从几个方面进行讨论：

（1）如何画图

（2）顶点、图象与坐标轴的交点

（3）所形成的三角形以及四边形的面积

（4）对称轴

从上面的问题导入今天的课题二次函数中的图象与性质。

1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点a，且与x轴交于点b、c；在抛物线上求一点e使sbce= sabc。

再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点f，使bce与bcd全等。

再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点m，使bom与abc相似。

2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的解析式。

例如：已知一抛物线的顶点坐标是c（2，1）且与x轴交于点a、点b，已知sabc=3，求抛物线的解析式。

根据我们学校人人皆知的船模特色项目设计了这样一个情境：

让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。求此船龙骨的抛物线的解析式。

让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。

1、在直角坐标平面内，点o为坐标原点，二次函数y=x2+（k―5）x―（k+4）的图象交x轴于点a（x1，0）、b（x2，0）且（x1+1）（x2+1）=―8。

（1）求二次函数的解析式；

（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为c，顶点为p，求 poc的面积。

2、如图，一个二次函数的'图象与直线y= x―1的交点a、b分别在x、y轴上，点c在二次函数图象上，且cbab，cb=ab，求这个二次函数的解析式。

3、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1：11000的比例图上，跨度ab=5cm，拱高oc=0。9cm，线段de表示大桥拱内桥长，de∥ab，如图1，在比例图上，以直线ab为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图2。

（1）求出图2上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果de与ab的距离om=0。45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ，计算结果精确到1米）

《函数的应用》教案设计意图篇五

我们学习知识的目的就是为了应用，如能把书本上学到的知识运用到实际生活中，这就说明确实把知识学好了，会用了

用函数观点处理实际问题的关键在于分析实际情境、建立函数模型，并进一步提出明确的数学问题，教学时应注意分析的过程，即将实际问题置于已有知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以看成什么?让学生逐步学会用数学的眼光考查实际问题.同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想

此外，解决实际问题时.还要引导学生体会知识之间的联系以及知识的综合运用

(一)教学知识点

1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程

2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力

(二)能力训练要求

通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力

(三)情感与价值观要求

经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题。理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题.发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用

用反比例函数的知识解决实际问题

如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题

教师引导学生探索法

ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢？

[生]是为了应用

[师]很好；学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢？本节课我们就来学一学

ⅱ. 新课讲解

某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务；你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积s(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力合计600 n，那么

(1)用含s的代数式表示p，p是s的反比例函数吗？为什么？

(2)当木板画积为 0.2 m2时.压强是多少？

(3)如果要求压强不超过6000 pa，木板面积至少要多大？

(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象

(5)清利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流

[师]分析：首先要根据题意分析实际问题中的两个变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是则可用反比例函数的有关知识去解决问题

请大家互相交流后回答

[生](1)由p=得p=

p是s的反比例函数，因为给定一个s的值.对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是s的反比例函数

(2)当s= 0.2 m2时， p==3000(pa)

当木板面积为 0.2m2时，压强是3000pa.

(3)当p=6000 pa时，

s==0.1(m2)

如果要求压强不超过6000 pa，木板面积至少要 0.1 m2

(4)图象如下：

(5)(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围

[师]这位同学回答的很好，下面我要提一个问题，大家知道反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限，要么位于第二、四象限，从(1)中已知p＝>0，所以图象应位于第一、三象限，为什么这位同学只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢？

[生]第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，s不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在

[师]很好，那么在(1)中是不是应该有条件限制呢？

[生]是，应为p＝ (s>0).

做一做

1、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流i(a)与电阻r(ω)之间的函数关系如下图；

(1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗？

(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 10a，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？

[师]从图形上来看，i和r之间可能是反比例函数关系.电压u就相当于反比例函数中的k.要写出函数的`表达式，实际上就是确定k(u)，只需要一个条件即可，而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，填表实际上是已知自变量求函数值.

[生]解：(1)由题意设函数表达式为i＝

∵a(9，4)在图象上，

∴u＝ir＝36

∴表达式为i=

蓄电池的电压是36伏

(2)表格中从左到右依次是：12，9，7.2，6，4.5，3.6

电源不超过 10 a，即i最大为 10 a，代入关系式中得r＝3.6，为最小电阻，所以用电器的可变电阻应控制在r≥3.6这个范围内

2、如下图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=的图象相交于a，b两点，其中点a的坐标为(,2)

(1)分别写出这两个函数的表达式：

(2)你能求出点b的坐标吗？你是怎样求的?与同伴进行交流

[师]要求这两个函数的表达式，只要把a点的坐标代入即可求出k1，k2，求点b的

坐标即求y＝k1x与y=的交点

[生]解：(1)∵a(,2)既在y＝k1x图象上，又在y＝的图象上

∴k1＝2，2＝

∴k1=2,k2=6

∴表达式分别为y＝2x,y＝

∴x2=3

∴x=±

当x= ?时，y= ?2

∴b(?，?2)

ⅲ.课堂练习

1.某蓄水池的排水管每时排水 8 m3，6 h可将满池水全部排空

(1)蓄水池的容积是多少？

(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到q(m3)，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化？

(3)写出t与q之间的关系式；

(4)如果准备在5 h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？

(5)已知排水管的最大排水量为每时 12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空？

解：(1)8×6＝48(m3)

所以蓄水池的容积是 48 m3

(2)因为增加排水管，使每时的排水量达到q(m3)，所以将满池水排空所需的时间t(h)将减少.

(3)t与q之间的关系式为t=

(4)如果准备在5 h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为=9.6(m3)

(5)已知排水管的最大排水量为每时 12m3，那么最少要＝4小时可将满池水全部排空.

ⅳ、课时小结

节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题.

ⅴ课后作业

习题5.4.

§ 5.3反比例函数的应用

一、1.例题讲解

2.做一做

二、课堂练习

三、课时小节

四、课后作业(习题5.4)

《函数的应用》教案设计意图篇六

1、学习利用正、余弦函数的图像和性质解决一些简单应用；

2、比较单位圆和图像法研究三角函数的性质时各自的特点；

3、进一步熟悉正、余弦函数的最值、单调性、奇偶性、图像的对称性的应用；

正、余弦函数的图像和性质的简单应用

运用函数观点和数形结合思想研究函数性质

（温习课本第18页、28页、31页、32页关于正、余弦函数的'图像和性质的内容，解决下列内容）

1、角α终边和单位圆交于点p（u,v）时，sinα= ;csα= ；

若p(x,)是角α终边上一点，则sinα= ; csα= ；

2、描点法画余弦曲线时的五个关键点是：

3、说说正、余弦函数的性质有哪些相同点和不同点？（画出表格比较）

例1．书第24页a组第6题

例2.书第24页b组第4题

例3、书第35页b组第1题

1、函数=2csx, 412【导学案】正、余弦函数的图像和性质的应用 的增区间为 ；减区间为 。

2、书第35页b组第2题（分csx＜0和csx≥0两种情况化简解析式后画出图像）

（1）该函数图像为：

（2）定义域为 ；值域为 ；x= 时，

函数最大值为 ；最小正周期为 ；奇偶性为 ；

(3)该函数图像的对称性是 ；

增区间为 ；

减区间为 。

（4）函数在[-2π，2π]上的图像与直线=-1的交点个数是 。

我的疑惑：

《函数的应用》教案设计意图篇七

1.能运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题。

2.在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻

画现实世界中数量关系的一种数学模型。

运用反比例函数解决实际问题

运用反比例函数解决实际问题

一、情景创设

引例：小丽是一个近视眼，整天眼镜不离鼻子，但自己一直不理解自己的眼镜配制的原理，很是苦闷，近来她了解到近视眼镜的度数y(度)与镜片的焦距为x(m)成反比例，并请教师傅了解到自己400度的近视眼镜镜片的焦距为0.2m，可惜她不知道反比例函数的概念，所以她写不出y与x的函数关系式，我们大家正好学过反比例函数了，谁能帮助她解决这个问题呢?

反比例函数在生活、生产实际中也有着广泛的应用。

例如：在矩形中s一定，a和b之间的关系?你能举例吗?

二、例题精析

例1、见课本73页

例2、见课本74页

例3、某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)是气球体积v(米3)的.反比例函数(1)写出这个函数解析式(2)当气球的体积为0.8m3时，气球的气压是多少千帕?(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积不小于多少立方米?

四、课堂练习课本p74练习1、2题

五、课堂小结反比例函数的应用

六、课堂作业课本p75习题9.3第1、2题

七、教学反思

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《函数的应用》教案设计意图篇八

（一）内容：函数单调性的应用

（二）解析：本节课要学的内容指的是会判定函数在某个区间上的单调性、会确定函数的单调区间、能证明函数的单调性，其关键是利用形式化的'定义处理有关的单调性问题，理解它关键就是要学会转换式子 。学生已经掌握了函数单调性的定义、代数式的变换、函数的概念等知识，本节课的内容就是在此基础上的应用。教学的重点是应用定义证明函数在某个区间上的单调性，解决重点的关键是严格按过程进行证明。

（一）教学目标：

掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。

（二）解析：

会证明就是指会利用三步曲证明函数的单调性;会求函数的单调区间就是指会利用函数的图象写出单调增区间或减区间;应用知识解决问题就是指能利用函数单调性的意义去求参变量的取值情况或转化成熟悉的问题。

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何才能准确确定 的符号，产生这一问题的原因是学生对代数式的恒等变换不熟练。要解决这一问题，就是要根据学生的实际情况进行知识补习，特别是因式分解、二次根式中的分母有理化的补习。

在本节课（）的教学中，准备使用（），因为使用（），有利于（）。

《函数的应用》教案设计意图篇九

：指数函数与对数函数的性质及其应用

：综合课

：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。

：指数函数与对数函数的特性。

：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。

：多媒体授课。

：借助列表与图像法。

：多媒体教学设备。

：

一、 复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。

二、 展示指数函数与对数函数的`一览表。并和学生们共同复习这些性质。

指数函数与对数函数关系一览表

函数

性质

指数函数

y=ax （a＞0且a≠1）

对数函数

y=logax（a＞0且a≠1）

定义域

实数集r

正实数集（0，��∞）

值域

正实数集（0，��∞）

实数集r

共同的点

（0，1）

（1，0）

单调性

a＞1 增函数

a＞1 增函数

0＜a＜1 减函数

0＜a＜1 减函数

函数特性

a＞1

当x＞0,y＞1

当x＞1,y＞0

当x＜0,0＜y＜1

当0＜x＜1, y＜0

0＜a＜1

当x＞0, 0＜y＜1

当x＞1, y＜0

当x＜0,y＞1

当0＜x＜1, y＞0

反函数

y=logax（a＞0且a≠1）

y=ax （a＞0且a≠1）

图像

y

y=(1/2)x y=2x

(0,1)

x

y

y=log2x

(1,0)

x

y=log1/2x

三、 同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成， 观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的值域与y＝ax的定义域相同。

y

y＝(1/2)x y＝2x y＝x

（0，1） y＝log2x

（1，0） x

y＝log1/2x

注意：不能由图像得到y＝2x与y＝（1/2）x为偶函数关系。因为偶函数是指同一个函数的图像关于y轴对称。此图虽有y＝2x与y＝（1/2）x图像对称，但它们是2个不同的函数。

四、 利用指数函数与对数函数性质去解决含有指数与对数的复合型函数的定义域、值域问题及比较函数的大小值。

五、 例题

例⒈比较（л）（－0.1）与（л）（－0.5）的大小。

解：∵ y＝ax中， a＝л＞1

∴ 此函数为增函数

又∵ ��0.1＞��0.5

∴ （л）（－0.1）＞（л）（－0.5）

例⒉比较log67与log76的大小。

解： ∵ log67＞log66＝1

log76＜log77＝1

∴ log67＞log76

注意：当2个对数值不能直接进行比较时，可在这2个对数中间插入一个已知数，间接比较这2个数的大小。

例⒊ 求y＝3√4-x2的定义域和值域。

解：∵√4-x2 有意义，须使4-x2≥0

即x2≤4， |x|≤2

∴-2≤x≤2，即定义域为[-2，2]

又∵0≤x2≤4， ∴0≤4-x2≤4

∴0≤√4-x2 ≤2，且y＝3x是增函数

∴30≤y≤32，即值域为[1，9]

例⒋ 求函数y＝√log0.25（log0.25x）的定义域。

解：要函数有意义，须使log0.25（log0.25x）≥0

又∵ 0＜0.25＜1，∴y＝log0.25x是减函数

∴ 0＜log0.25x≤1

∴ log0.251＜log0.25x≤log0.250.25

∴ 0.25≤x＜1，即定义域为[0.25，1）

六、 课堂练习

求下列函数的定义域

1. y＝8[1/（2x-1）]

2. y＝loga（1-x）2 （a＞0，且a≠1）

七、 评讲练习

八、 布置作业

第113页，第10、11题。并预习指数函数与对数函数

在物理、社会科学中的实际应用。

《函数的应用》教案设计意图篇十

①掌握对数函数的性质。

②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复

合函数的定义域、值 域及单调性。

③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透，提高

解题能力。

对数函数的性质的应用。

例 1 比较下列各组数的大小。

⑴loga5。1 ，loga5。9 (a>0，a≠1)

⑵log0。50。6 ，logл0。5 ，lnл

师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？

生：这两个对数底相等。

师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？

生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。

师：对，请叙述一下这道题的解题过程。

生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0

调递减，所以loga5。1>loga5。9 ；当a>1时，函数y=logax单调递

增，所以loga5。1

解：ⅰ）当0

∵5。1<5。9 1="">loga5。9

ⅱ）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，

∵5。1<5。9 ∴loga5。1

师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？

生：这三个对数底、真数都不相等。

师：那么对于这三个对数如何比大小？

生：找“中间量”， log0。50。6>0，lnл>0，logл0。5<0；lnл>1，log0。50。6<1，所以logл0。5< log0。50。6< lnл。

板书：略。

师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函

数 的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数

函数图象的位置关系来比大小。

例 2 ⑴求函数y=的定义域。

⑵解不等式log0。2(x2+2x-3)>log0。2(3x+3)

师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要

使函数有意义。若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式，

被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于

零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求

它们共同作用的结果。）

生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0。8x-1≥0，且真数x>0。

解：∵ 2x-1≠0 x≠0。5

log0。8x-1≥0 ， x≤0。8

x>0 x>0

∴x(0，0。5)∪(0。5，0。8〕

师：接下来我们一起来解这个不等式。

分析：要解这个不等式，首先要使这个不等式有意义，即真数大于零，

再根据对数函数的单调性求解。

师：请你写一下这道题的解题过程。

生：<板书>

解： x2+2x-3>0 x<-3 x="">1

(3x+3)>0 ， x>-1

x2+2x-3<(3x+3) -2

不等式的解为：1

这堂课主要讲解如何应用对数函数的`性质解决一些问题，希望能通过这堂课使同学们对等价转化、分类讨论等思想加以应用，提高解题能力。

⑴解不等式

①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1)，(a为常数)

⑵已知函数y=loga(x2-2x)，(a>0，a≠1)

①求它的单调区间；②当0

⑶已知函数y=loga (a>0， b>0， 且 a≠1)

①求它的定义域；②讨论它的奇偶性;

③讨论它的单调性。

⑷已知函数y=loga(ax-1) (a>0，a≠1)，

①求它的定义域；

②当x为何值时，函数值大于1；

③讨论它的单调性。

《函数的应用》教案设计意图篇十一

1、教材的地位及作用

函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具，二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位。本节内容的教学，在函数的教学中有着承上启下的作用。它既是对已学一次函数及反比例函数的复习，又是对二次函数知识的延续和深化，为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础，做好铺垫。

2.教学目标

(1) 掌握二此函数的概念并能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。[知识与技能目标]

(2)让学生经历观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。[过程与方法目标]

(3) 让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦，[情感、态度、价值观目标]

3、教学的重、难点

重点：二次函数的概念和解析式

难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力

4、 学情分析

①学生已掌握一次函数，反比例函数的概念,图象的画法，以及它们图象的性质。 ②学生个性活泼，积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与 能力。

③初三学生程度参差不齐，两极分化已形成。

1` 教法(关键词：情境、探究、分层)

基于本节课内容的特点和初三学生的年龄特征，我以“探究式”体验教学法和“启发式”教学法 为主进行教学。让学生在开放的情境中，在教师的 引导启发下，同学的合作帮助下，通过探究发现，让学生经历数学知识的形成和应用过程，加深对数学知识的理解。教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教。

2、学法(关键词：类比、自主、合作)

根据学生的思维特点、认知水平，遵循“教必须以学为立足点”的教育理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在各个环节中引导学生类比迁移，对照学习。以自主探索为主，学会合作交流，在师生互动、生生互动中让每个学生动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性，使学生由“学会”变“会学”和“乐学”。

3、教学手段

采用多媒体教学，直观呈现抛物线和谐、对称的美，激发学生的学习 兴趣，参与热情，增大教学容量，提高教学效率。

完整的数学学习过程是一个不断探索、发现、验证的过程，根据新课标要求，根据“以人为本，以学定教”的教学理念，结合学生实际，制订以下教学流程：

(一).创设情境 温故引新

以提问的形式复习一元二次方程的一般形式，一次函数，反比例函数的定义，然后让学生欣赏一组优美的有关抛物线的图案，创设情境：

(1)你们喜欢打篮球吗?

(2)你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度?

从而引出课题〈〈二次函数〉〉，导入新课

(二).合作学习，探索新知

为了更贴近生活，我先设计了两个和实际生活有关的练习题。鼓励学生积极发言，充分调动学生的主动性。然后出示课本上的两个问题，在这个环节中，我让学生在教师的引导下，先独立思考，再以小组为单位交流成果，以培养学生自主探索、合作探究的能力。四个解析式都列出来后。让学生通过观察与思考，这些解析式有什么共同特征，启发学生用自己的语言总结，从而得出二次函数的概念，并且提高了学生的语言表达能力。

学生在学习二次函数的概念时要求学生既要知道表示二次函数的解析式中字母的意义,还要能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数

(三)当堂训练 巩固提高

由于学生层次不一，练习的.设计充分考虑到学生的个体差异，满足不同层次学生的学习需求，实现有“差异的”发展。让每一个学生都感受成功的喜悦。我设计了3道练习题，其难易程度逐步提高，第一道题面对所有的学生，学生可以根据二次函数的概念直接判断，但需要强调该化简的必须化简后才可以判断。第二道题让学生逆向思维，根据条件自己写二次函数，从而加深了对二次函数概念的理解。最后一道题综合性较强，可以提高他们的综合素质。

(四).小结归纳 拓展转化

让学生用自己的语言谈谈自己的收获，可以将这一节的知识条理化，进一步掌握二次函数的概念。

(五)布置作业 学以致用

作业分必做题、选做题，体现分层思想，通过作业，内化知识，检验学生掌握知识的情况，发现和弥补教与学中遗漏与不足。同时，选做题具有总结性，可引导学生研究二次函数,一次函数,正比例函数的联系.

本节课的教学从学生已有的认知基础出发，以学生自主探索、合作交流为主线，让学生经历数学知识的形成与应用过程，加深对所学知识的理解，从而突破重难点。整节课注重学生能力的培养和习惯的养成。由于学生的层次不一，我全程关注每一个学生的学习状态，进行分层施教，因势利导，随机应变，适时调整教学环节，，实现评价主体和形式的多样化，把握评价的时机与尺度，激发学生的学习兴趣，激活课堂气氛，使课堂教学达到最佳状态。

1.本节课通过学生合作交流，自己列出不同问题中的解析式，并通过观察他们的共同特征，成功得出了二次函数的概念。

2.本节课设计的以问题为主线，培养学生有条理思考问题的习惯和归纳概括能力，并重视培养学生的语言表达能力。同时不断激发学生的探索精神，提高了学生分析和解决问题的能力。使学生有成功体验。

《函数的应用》教案设计意图篇十二

了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.

利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.

教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.

（一）复习引入

1．增函数、减函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为i：如果对于属于定义域i内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．

2．函数的单调性

如果函数y＝f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的`）单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．

在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．

例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．

解：取x1＜x2，x1、x2∈r，取值

f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3)作差

＝(x1－x2)(x1＋x2－4)变形

当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号

∴y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减．判断

当2＜x1＜x2时，x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，

∴y＝f(x)在(2,＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y＝f(x)在(2,＋∞)单调递增。

能否利用导数的符号来判断函数单调性？

《函数的应用》教案设计意图篇十三

【

1、用一根长10 的铁丝围成一个矩形，设其中的一边长为 ，矩形的面积为 ，则 与 的函数关系式为 .

2、张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形abcd.设ab边的长为x米.矩形abcd的面积为s平方米.求s与x之间的函数关系

3、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的

一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 是( )

4、小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.

5、某商场以每台2500元进口一批彩电，如果每台售价定为2700元，可卖出400台，以100元为一个价格单位，若每台提高一个单位价格，则会少卖出50台。

⑴若设每台的定价为 (元)卖出这批彩电获得的利润为 (元)，试写出 与 的'函数关系式;

⑵当定价为多少元时可获得最大利润?最大利润是多少?

6、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 ，

其中 (m)是球的飞行高度， (m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m.

(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.(2)请求出球飞行的最大水平距离.

(3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式.

比例线段

1.相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形

2.比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段

3. 比例的性质

(1)基本性质: ， a∶b=b∶c b2=ac

(2)比例中项:若 的比例中项.

比例尺 = (做题之前注意先统一单位)

以上就是初三数学寒假作业之求二次函数的应用的全部内容，希望你做完作业后可以对书本知识有新的体会，愿您学习愉快。

《函数的应用》教案设计意图篇十四

1、能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题

2、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。

3、在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型。

重点：能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题

难点：根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式

为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量(g)与时间x(in)成正比例.药物燃烧后,与x成反比例(如图所示),现测得药物8in燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6g,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:

(1)药物燃烧时,关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后关于x的函数关系式为_______.

(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6g时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室;

(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3g且持续时间不低于10in时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?

例1、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文。

（1）如果小明以每分种120字的速度录入，他需要多少时间才能完成录入任务？

（2）录入文字的速度v（字/in）与完成录入的时间t(in)有怎样的函数关系？

（3）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？

例2某自来水公司计划新建一个容积为 的长方形蓄水池。

（1）蓄水池的底部s 与其深度 有怎样的函数关系？

（2）如果蓄水池的深度设计为5，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？

（3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长与宽最多只能设计为100和60，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）

1、一定质量的氧气,它的密度 (g/3)是它的体积v( 3) 的.反比例函数, 当v=103时,=1.43g/3. (1)求与v的函数关系式；(2)求当v=23时求氧气的密度.

2、某地上年度电价为0.8元&nt/&nt度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55元至0.75元之间.经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量(亿度)与(x－0.4)(元)成反比例,当x=0.65时,=-0.8.

(1)求与x之间的函数关系式；

(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%? [收益=(实际电价－成本价)×(用电量)]

3、如图,矩形abcd中,ab=6,ad=8,点p在bc边上移动(不与点b、c重合),设pa=x,点d到pa的距离de=.求与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围.

30.3――1、2、3