最新变化率与导数教学反思(6篇)

在日常学习、工作或生活中，大家总少不了接触作文或者范文吧，通过文章可以把我们那些零零散散的思想，聚集在一块。写范文的时候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？这里我整理了一些优秀的范文，希望对大家有所帮助，下面我们就来了解一下吧。

变化率与导数教学反思篇一

1.教学目标

知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.2.教学重点/难点

【教学重点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.3.教学用具

多媒体

4.标签

变化率与导数

教学过程

课堂小结

课后习题

变化率与导数教学反思篇二

教学准备

1.教学目标

（1）了解平均变化率与割线斜率之间的关系 ；（2）理解曲线的切线的概念 ；

（3）通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；（4）会用导数的几何意义解题.2.教学重点/难点

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

一、温故知新、引入课题

【师】请同学们回忆上节课学的的知识.【板演/ppt】

1.函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:

2.平均变化率的几何意义：割线的斜率

3.导数的概念: 一般地，函数 y = f(x)在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f(x)在 x = x0 处的导数

4．求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤是:

【设计意图】引导学生回忆本节课的旧知识，为下面探究导数的几何意义做准备。自然进入课题内容。

二、新知探究 1、切线 【合作探究】 【板演/ppt】

探究1平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？

【生】初中平面几何中圆的切线定义：如果直线与圆有唯一公共点，则称直线与圆相切，这条直线叫圆的切线。

【师】如图直线l1是曲线c的切线吗? l2呢?

【生】l2是曲线c的切线。

【师】我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？

曲线的切线及切线的斜率： 如图1.1-2，当线ppn的变化趋势是什么？

【生】演变成切线pt。

沿着曲线f(x)趋近于点

时，割

师生共同总结出切线的定义：

我们发现,当点沿着曲线无限接近点p即δx→0时,割线ppn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线pt称为曲线在点p处的切线.注：曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以有无穷多个.【设计意图】用运动的观点解释圆的切线：让圆的割线运动到确定的位置（即直线与圆只有唯一一个交点处）就形成了圆的切线。用运动的观点研究一般曲线的切线。

【师】

（1）割线ppn的斜率kn与切线pt的斜率有什么关系？（2）切线pt的斜率k为多少？ 【提示】容易知道，割线ppn的斜率是点p时，kn无限趋近于切线pt的斜率k，即，当点pn沿着曲线无限接近

【说明】：

（1）设切线的倾斜角为α,那么当δx→0时,割线pq的斜率,称为曲线在点p处的切线的斜率.（2）曲线在某点处的切线:（1）与该点的位置有关;（2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;（3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.这个概念的作用: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在x=x0处的导数.[2]导数的几何意义

探究2：在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率有何联系？

导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即

【说明】：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出p点的坐标;②求出函数在点x0处的变化率点（x0,f（x0））的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.【师】：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？ 【生】：已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量。

【师】：切线y=kx＋b中，如果k＞0，则切线有怎样的变化趋势？如果k＜0呢？反之，由切线的变化趋势，能否确定斜率的情况？，得到曲线在【生】k＞0，则切线呈上升趋势；k＜0，则切线呈下降趋势。由切线的变化趋势可以得出切线的斜率情况，也即该点处的导数情况。

【设计意图】适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。

3、例题讲解

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点p(1,2)处的切线方程.解析：

所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y-2=2（x-1）即2x-y=0 【总结提升】

求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点p的坐标；

②求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数； ③利用点斜式求切线方程.例2．如图1.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在变化情况．

附近的解析：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）当t=t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

从图1.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．

【总结提升】

通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论?（1）以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；

（2）函数的单调性与其导函数正负的关系 ；（3）曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系.例3．如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度

随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

解析：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值． 作t=0.8处的切线，并在切线上去两点，如

所以

则它的斜率为下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

4、导函数： 由函数0处求导数的过程可以看到,当时，的导函数.记作：

是一个确定的数，那么,当x

变化时,便是x的一个函数,我们叫它为即:注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 函数在点x0处的导数

导函数

导数之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数极限，它是一个常数，不是变数。

就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数 3）函数f(x)在点x0处的导数

就是导函数

处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。

【设计意图】对导数的几何意义掌握较好，能借助导数研究函数的增减。综合题便于优生增强能力、训练思维，为后继学习引入导函数的概念奠定基础。

在教学中向学生提供充分的从事数学活动的机会，倡导自主探索、合作交流与实践创新，促进他们在活动的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。使不同层次的学生，各自争取更大限度的发展。

三、复习总结和作业布置 1、课堂练习1．下列说法正确的是

2.已知y=f(x)的图象如图所示，则的大小关系是()

3．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是

4．曲线y＝x3在点p处的切线斜率为3，则点p的坐标为()a．(－2，－8)b．(1,1)，(－1，－1)c.(2 , 8)

5．已知函数y＝f(x)的图象在点m(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝_______.课堂练习【参考答案】 1.c 2.b 3.d 4.b 5.答案 3 课堂小结

1.曲线的切线定义 2.使学生掌握函数图像在在处的导数的几何意义就是函数的处的切线的斜率。（数形结合），即：

＝切线的斜率

3．利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

4．导函数（简称“导数”）的概念。

课后习题

1、复习本节课所讲内容 2、预习下一节课内容 3、课本 p10习题1.1 a组5,6

变化率与导数教学反思篇三

教学准备

1.教学目标

（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念

（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2.教学重点/难点

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解 教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

一、创设情景、引入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【板演/ppt】

【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/ppt】 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

【设计意图】自然进入课题内容。

二、新知探究 [1]变化率问题 【合作探究】 探究1 气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积v(单位:l)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积v的函数,那么

【板演/ppt】 【活动】 【分析】

当v从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当v从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 【思考】当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析：探究2 高台跳水

【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?（请计算）

【板演/ppt】 【生】学生举手回答

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。

探究3 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:（1）运动员在这段时间里是静止的吗?（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【板演/ppt】 【生】学生举手回答

【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.【活动】师生共同归纳出结论平均变化率: 上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子

我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用δx=x2-x1,δy=f(x2)-f(x1)这里δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+δx代替x2 同样δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率意义是什么？的几何

【提示】：直线ab的斜率 【生】学生结合图象思考问题 【设计意图】问题的目的是： ① 让学生加深对平均变化率的理解； ② 为下节课学习导数的几何意义作辅垫； ③ ③培养学生数形结合的能力。[2]导数的概念 探究1 何为瞬时速度 【板演/ppt】

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 解：

探究2 当δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时,平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度.因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.为了表述方便，我们用

表示“当t =2, △t趋近于0时,平均速度 趋近于确定值– 13.1”.【瞬时速度】

我们用

表示 “当t=2, δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，v越接近于t＝2秒时的瞬时速度。

探究3:

（1）.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?（2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念:

一般地，函数 y = f(x)在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f(x)在 x = x0 处的导数, 记作

或,【总结提升】

由导数的定义可知, 求函数 y = f(x)的导数的一般方法: [3]例题讲解

例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时, 原油的温度(单位:)为 y=f(x)= x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.[4]本节课知识总结 1.函数的平均变化率

2.求函数的平均变化率的步骤: （1）求函数的增量δy=f(x2)-f(x1)（2）计算平均变化率

3、求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量δs=s(t+δt)-s(t)（2）求平均速度（3）求极限

4、由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量δy=f(x0+δt)-f(x0)（2）)平均变化率（3）求极限

三、复习总结和作业布置 [1] 课堂练习

1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋δx时，函数值的改变量δy为 ()a．f(x0＋δx)b．f(x0)＋δx c．f(x0)·δx d．f(x0＋δx)－f(x0)2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是()a．4 b．4.1 c．0.41 d．－1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。

4.过曲线y=f(x)=x3上两点p（1，1）和q (1+δx,1+δy)作曲线的割线，求出当δx=0.1时割线的斜率.课堂练习【参考答案】 1.d 解析：分别写出x＝x0和x＝x0＋δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量δy＝f(x0＋δx)－f(x0)，故应选d.2.b 解析：3.解析：

4.解析：

课后习题

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 p.10习题1.1 a组1,2,3,4.

变化率与导数教学反思篇四

教学准备

1.教学目标

知识与技能

1.理解平均变化率的概念.2.了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.3.理解导数的概念

4.会求函数在某点的导数或瞬时变化率.过程与方法

理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．

情感、态度与价值观

感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．

2.教学重点/难点

教学重点

平均变化率的概念． 教学难点

平均变化率概念的形成过程．

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

教学过程设计

创设情景、引入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。新知探究 1.变化率问题 探究1 气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积v(单位:l)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是

如果将半径r表示为体积v的函数,那么

【分析】

（1）当v从0增加到1时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

（2）当v从1增加到2时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为 0.62>0.16，可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 【思考】当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率是多少?

解析：

探究2

高台跳水

【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

探究3 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

（1）运动员在这段时间里是静止的吗?（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.【活动】师生共同归纳出结论平均变化率: 上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子表示.我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用δx=x2-x1,δy=f(x2)-f(x1)这里δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+δx代替x2 同样δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率的几何意义是什么？

【提示】：直线ab的斜率 【设计意图】问题的目的是：

①

让学生加深对平均变化率的理解； ②

为下节课学习导数的几何意义作辅垫； ③ 培养学生数形结合的能力。2.导数的概念

探究1 何为瞬时速度2.【板演/ppt】

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 解：

探究2 当δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时,平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度.因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.为了表述方便，我们用

表示“当t =2, △t趋近于0时,平均速度趋近于确定值– 13.1”.【瞬时速度】 我们用

表示 “当t=2, δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，v越接近于t＝2秒时的瞬时速度。探究3:（1）.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?（2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念: 一般地，函数 y = f(x)在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f(x)在 x = x0 处的导数，记作

由导数的定义可知, 求函数 y = f(x)的导数的一般方法: 1.求函数的改变量2.求平均变化率

3.求值

【典例精讲】

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时, 原油的温度(单位:)为 y=f(x)= x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是

根据导数的定义，在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.例2.求函数处的导数．

【小结】

1．求导方法简记为：一差、二化、三趋近．

2．求函数在某一点导数的方法有两种：一种是直接求出函数在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导数在该点的函数值，此方法是常用方法． 【变式训练】

用定义求函数f(x)＝x2在x＝1处的导数．

【当堂训练】

1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋δx时，函数值的改变量δy为 ()a．f(x0＋δx)

b．f(x0)＋δx c．f(x0)·δx

d．f(x0＋δx)－f(x0)2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是()a．4

b．4.1 c．0.41

d．－1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。

4.过曲线y=f(x)=x3上两点p（1，1）和q (1+δx,1+δy)作曲线的割线，求出当δx=0.1时割线的斜率.【参考答案】 1.d 解析：分别写出x＝x0和x＝x0＋δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量δy＝f(x0＋δx)－f(x0)，故应选d.2.b

【作业布置】

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 p.10习题1.1 a组1,2,3,4.课堂小结

1、函数的平均变化率

2、求函数的平均变化率的步骤: （1）求函数的增量δy=f(x2)-f(x1)（2）计算平均变化率

3、求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量δs=s(t+δt)-s(t)（2）求平均速度

（3）求极限

4、由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量δy=f(x0+δt)-f(x0)（2）求平均变化率

（3）求极限

课后习题

课本 p10习题1.1 a组1,2,3,4.板书

变化率与导数教学反思篇五

一、《利用导数探究函数零点个数问题》教学设计

激趣入境：

问题：试说出函数fxx22x3的零点

设计意图：引出零点的概念，并由简单问题使学生回忆函数零点、方程根、函数图像交点之间的联系，为基本概念、思想转化做知识性的必要铺垫。

本环节由学生集体作答，问题简单，都能给出答案 函数零点的等价转化：

1、函数yfx的零点方程fx0的根函数yfx的图象与x轴 （即y0）交点的横坐标。

2、推广：函数hxfxgx的零点

方程_________________即_________________的根；

函数_________________和_________________的图象的________________ 例如：

函数hxxlnx的零点

方程_________________即_________________的根；

函数_________________和_________________的图象的________________

设计意图：由问题的表面认识升华为理论层面，先给基本的转化思想，然后再推广到一般情况，为使学生灵活应用和转化打好基础。例题的给出使学生对刚刚理解的转化有立竿见影的认识，并起到夯基释义的作用。

此环节由教师提问，学生单独作答，在推广时学生遇到了一些问题，由其他学生补充回答，直到答案完整。

二、导引体验、合作探究：

例

1、已知函数fxx3x1，求fx的极值并画出函数的草图 3设计意图：由学生在课前完成，即能复习前几节的知识重点，同时为引出本节课的课题做好知识上的准备

此题学生在课前完成，在此环节由某学生提前写黑板上，由教师和学生共同核对、检查，强调书写格式和画图注意的问题

问题

1、根据图象说出图象与x轴有几个交点？与y1，y3，y2，y4呢？ __________________________________________________________________

问题

2、若函数图象与ym有三个不同交点，则m的范围是什么？有两个交点和一个交点呢？

__________________________________________________________________ 问题

3、若方程fxm0有三个不等实根，则m的范围是什么？若是有三个零点呢？ gxfxm___________________________________________________________________ 设计意图：此环节是本节课的重点，在例一的基础上并结合几何画板，问题一让学生对照图像观察定直线和定图像的交点个数情况，数形结合，显而易见，学生很容易接受，问题2要求学生逆向思维去考虑动直线和定图象的交点个数问题，几何画板动态展示动直线的运动过程，从而直观观察出图象与动直线的交点个数以及相关的要素即与极大值和极小值有关，问题迎刃而解，问题3回归本节课的课题，使学生们清楚研究函数图象的交点问题实际上等价于研究函数的零点问题和方程根的问题。

此环节由教师提问，在教师用几何画板投影图象的过程中，由学生看图完成作答，此处是本节课难点也是重点，但经过设计学生基本能接受并回答出。达标训练

1、32已知函数fxx3x1，若直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围。

设计意图：检测学生对基本思想的落实情况，夯实基础，并为后边的变式及拓展延伸做好准备。

本环节由学生自己完成，并找学生上黑板板书，在学生完成的过程中与学生交流，了解学生的完成情况与存在的问题，适当提示和指导

32变式

1、已知函数fxx3xx1，若直线yxm与曲线yfx的图象有三个不同交点，求实数m的取值范围。

32变式

2、已知函数fxx3xx1，若直线yxm与曲线yfx的图象在1,3上有三个不同交点，求实数m的取值范围。 2设计意图：层层递进，逐步加深，变式1是为强化三种问题的转化思想，引导学生从正确的思考方向出发，先由函数图像交点转化为方程根的问题，再转化为函数图像和平行于x轴的动直线的交点问题，在此归纳出解决此类问题的步骤即：转化、求导找极值、画图、看图取范围，变式2在变式一的基础上限定定义域，为学生指出问题的解决不仅和极值有关还和端点值有关

本环节采用提问式，因为是对例1的变形，所以转化之后与例一一致，对变式2采取数形结合的方法依然借助几何画板来挖掘本题所注意的问题 达标训练

2、已知函数fx

1312xx2x，若关于x的方程 322

1fxx32x2xm0在区间,2上恰有两不等实根，求实数m的范围。

2设计意图：举一反三，夯基落实，强化对变式的理解和解决方法 由学生自己完成，教师给予适当引导

三、拓展延伸：

已知函数fxx28x与函数gx6lnxm的图象有三个不同的交点，求m的范围。

设计意图：在函数形式上改变，引进对数函数，既是对本节课的总结，也能拓展学生思维，开拓学生的视野，完善学生的思维方法。

为学生点出需要注意的问题，让学生课后自己完成四、小结归纳、（1）数形结合的思想

（2）函数零点个数问题或方程根的个数问题最终转化为平行与x轴的直线与函数图象的交点个数问题。

设计意图：总结本节课的知识重点，理清知识脉络，使学生在整体对本节课有全面的认识。

五、作业

学案：

变化率与导数教学反思篇六

§1.1.1

变化率问题

一.内容和内容解析

内容：平均变化率的概念及其求法。

内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

教学重点：函数平均变化率的概念。二.目标和目标解析

新课标对―导数及其应用‖内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种―规则‖来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用―逼近‖的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。目标解析：

1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。三.教学问题诊断分析

吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。

教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。四.教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，准备计算机、投影仪、多媒体课件等。

1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。

2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

五.教学过程设计 1.问题情景

从生活述语和学生比较熟悉的姚明身高曲线引入课题。

设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。

师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。2.数学建构

问题1：大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。

思考：当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率是多少? 设计意图：把问题1中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案，并利用几何画板进行演示分析结果的分析与归纳。

问题2：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=－4.9t2+6.5t+10，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度为多少？

设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。

师生活动：教师播放多郭晶晶、吴敏霞在2008年北京奥运会上跳水比赛录像，让学生在情景中感受速度变化，学生通过计算回答问题。对第（2）小题的答案说明其物理意义。

探究：计算运动员在0≤t≤

65这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 49(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对答案加以说明其物理意义（突出数形结合思想——对教材的一个处理）。

思考：当运动员起跳后的时间从t1增加到t2时,运动员的平均速度是多少? 设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想（体现化归的数学思想）。并为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题

1、2的共性。 定义：一般地,函数y=f(x)中，式子

f(x2)f(x1)称为函数f(x)从x1到x2的平

x2x1均变化率。其中令xx2x1，yf(x2)f(x1)，则:

f(x2)f(x1)y。x2x1x设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。思考：（1）x,y的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？ 设计意图：加深对概念内涵的理解。

师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。思考：观察函数f(x)的图象平均变化率

f(x2)f(x1)y表示什么?（图略）x2x1x

设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。

3.数学应用

例题

(1)计算函数f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；

(2)求函数f(x)=x2+1的平均变化率。

设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。

师生活动：教师适当点拨，学生口答。

练习（1）已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点a(-1,-2)及临近一点b(-1+δx,-2+δy),则δy/δx=（）a.3 b.3δx-(δx)2

c.3-(δx)2

d.3-δx

（2）求y=x2在x=x0附近的平均变化率.设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。

师生活动：教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：（1）作差

（2）作商

最后请一位同学板演，其余同学在草稿上练习。4.总结提高

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？（3）这节课主要用了哪些数学思想？

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合。

设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。六.知识巩固

（1）课本第10页习题1.1a组:1（2）四人一组合作完成一篇数学小论文，备选题目：《变化率的应用》、《数学来源于生活》、《生活中的平均变化率问题》

（3）备选作业：已知函数f(x)|x|(1x)，求

f(0x)f(0)的值：

x设计意图：对一般学生布置第（1）（2）题，而对学有余力的学生布置（3）题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识。