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平行线的性质实际应用 平行线的性质应用题及答案篇一
5.3平行线的性质
【知识点】
平行线具有性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做着两条平行线的距离。
判断一件事情的语句叫做命题。
【典型例题】
1、如图，已知a∥b,c、d都是a、b的截线，∠1=80°，∠5=70°，∠
2、∠
3、∠4各是多少度？为什么？ c
a
b12345d
(2)已知：ab∥ef，∠f=78°时，∠
3、∠4各等于多少度？为什么？
a
e12bcd34f3、如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行，第一次拐的角
∠b是142°，第二次拐的角∠c是多少度？为什么？
c4、如图，ad是∠eac的平分线，ad∥bc，∠b=30°，你能算出
∠ead、∠dac、∠c的度数吗？
eb
ad
bc
5、如图，ab∥a′b′，bc∥b′c′，bc交a′b′于点d，∠b与∠b′有什么关系？为什么？
a
a′
bd c
c′b′
【模拟试题】
一、选择题
(1)两直线被第三条直线所截,则()
a、同位角相等ｂ、内错角相等 ｃ、同旁内角互补ｄ、以上都不对
（２）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（）
（第1页，共4页）
ａ、相等ｂ、互补ｃ、相等或互补ｄ、这两个角无数量关系（３）如图，下列判断不正确的是（）ａ、∵∠１＝∠２∴ ∠ ３＝ ∠ ４ｂ、∵∠２＝∠５ ∴ ∠ ６＝ ∠ ７
ｃ、∵∠ ５＋ ∠ ８＝１８００ ∴ ∠１＝∠２ｄ、∵∠ ３＋ ∠ ４＝１８００ ∴ ∠１＝∠２
4.如图a所示,ab∥cd,则与∠1相等的角(∠1除外)共有()
a.5个b.4个c.3个d.2个
ac
b
d
a
acedfb
d
(a)(b)(c)
5.如图b所示,已知de∥bc,cd是∠acb的平分线,∠b=72°,∠acb=40°,•那么∠bdc等于()a.78°b.90°c.88°d.92°
6.下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;•③内错角相等,两直线平行;
④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是()a.①b.②和③c.④d.①和④
7.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相()a.垂直b.平行c.重合d.相交
8.如图c所示,cd∥ab,oe平分∠aod,of⊥oe,∠d=50°,则∠bof为()a.35°b.30°c.25°d.20°9.如图d所示,ab∥cd,则∠a+∠e+∠f+∠c等于()
a.180°b.360°c.540°d.720°
d
ef
b
f
e
g
(d)(e)
10.如图e所示,ab∥ef∥cd,eg∥bd,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有()•a.6个b.5个c.4个d.3个
二、填空
1．如图1，已知∠1 = 100°，ab∥cd，则∠2 =，∠3 =，∠4 =． 2．如图2，直线ab、cd被ef所截，若∠1 =∠2，则∠aef +∠cfe =．c f 1 bb ed df
b c a b d
图1 图2（第2页，共4页）图图
33．如图3所示
（1）若ef∥ac，则∠a +∠= 180°，∠f + ∠= 180°（）．（2）若∠2 =∠，则ae∥bf．（3）若∠a +∠= 180°，则ae∥bf． 4．如图4，ab∥cd，∠2 = 2∠1，则∠2 =．
5．如图5，ab∥cd，eg⊥ab于g，∠1 = 50°，则∠e =．
e c
l
1af 2 b f g
l2d
f d c c a g
图7 图8 图6图
56．如图6，直线l1∥l2，ab⊥l1于o，bc与l2交于e，∠1 = 43°，则∠2 =． 7．如图7，ab∥cd，ac⊥bc，图中与∠cab互余的角有． 8．如图8，ab∥ef∥cd，eg∥bd，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有个．
三、解答下列各题
9．如图9，已知∠abe +∠deb = 180°，∠1 =∠2，求证：∠f =∠g．a cf
d
图9 10．如图10，de∥bc，∠d∶∠dbc = 2∶1，∠1 =∠2，求∠deb的度数．
e
b c
图10
11．如图11，已知ab∥cd，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）
be
c d
12．如图12，∠abd和∠bdc的平分线交于e，be交cd于点f，∠1 +∠2 = 90°．图 1
1求证：（1）ab∥cd；（2）∠2 +∠3 = 90°．
b a
d c f
四、探索发现:
（第3页，共4页）
图1
2如图所示,已知ab∥cd,分别探索下列四个图形中∠p与∠a,∠c的关系,•
b
a
pc
d
b
ac
pbd
ac
p
bd
(1)(2)(3)(4)
五、中考题与竞赛题:
1.(2002.河南)如图a所示,已知ab∥cd,直线ef分别交ab,cd于e,f,eg•平分∠bef,若∠1=72°,则∠2=
e
b
a
d
e
bd
c
(a)(b)
2.(2002.哈尔滨)如图b所示,已知直线ab,cd被直线ef所截,若∠1=∠2,•则∠aef+∠cfe=________.（第4页，共4页）
平行线的性质实际应用 平行线的性质应用题及答案篇二
适合课标华师大版七年级16期
平行线的性质应用举例
山东省昌乐县朱汉镇中学刘春生26241
4同学们都知道两直线平行，则有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补这三条性质，利用这三条性质能解一些涉及角度的计算题，请看下面几例。
例1.已知a//b，则
________
解：因为
所以
又因为a//b（已知）所以
例2.如图2，已知（两直线平行，同位角相等），，则的度数为
_________（已知）（邻补角的定义）
解：因为
所以
所以（邻补角的定义）（内错角相等，两直线平行）
所以
所以（两直线平行，同位角相等）（对顶角相等），若，例3.如图3，已知ab//cd，直线ef分别交ab、cd于点e、f，eg平分
则为（）
a.b.c.d.解：因为ab//cd（已知）所以（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同旁内角互补）
又因为eg平分
所以（已知）（角平分线定义）即
所以
选c例4.如图4，直线、分别与直线、相交，与互余，的余角与互补，则______
解：因为所以
所以
所以
又因为
所以
所以与互余，与的余角互补（已知）（互余、互补的定义）（同旁内角互补，两直线平行）（两直线平行，内错角相等）（已知）（邻补角的定义），则
______ 例5.如图5，a//b，解：过c作c//a，因为a//b（已知）
所以b//c（平行于同一直线的两直线平行）所以所以
例6.如图6，已知ab//de，（两直线平行，内错角相等），则
___________
解：过c作cf//ab
因为ab//de（已知）
所以cf//de（平行于同一直线的两直线平行）所以（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同旁内角互补）即
所以
平行线的性质实际应用 平行线的性质应用题及答案篇三
平行线性质
平行线的性质
1.两直线平行，同位角相等。
2.两直线平行，内错角相等。
3.两直线平行，同旁内角互补。
4.在同一平面内的两线平行并且不在一条直线上的直线。
有关平行线：
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
如：ab平行于cd，写作ab∥cd
2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
3.平行公理的推论(平行的传递性)：
平行同一直线的两直线平行。
∵a∥c，c∥b
∴a∥b
平行线的判定：
1.两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
2.两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：内错角相等，两直线平行。
3.两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
平行线的性质：1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
3.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等。
两个角的数量关系两直线的位置关系：
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
平行线间的距离，处处相等。
如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
基本规律
1.平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反。
2.两条平行线的距离是指垂直线段的长度，两条平行线间的距离处处相等。
3.命题必须是一个完整的句子，而且这个句子必须对某件事作出判断。
平行线的性质
1.两直线平行，同位角相等。
2.两直线平行，内错角相等。
3.两直线平行，同旁内角互补。
4.在同一平面内的两线平行并且不在一条直线上的直线。
有关平行线：
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
如：ab平行于cd，写作ab∥cd
2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
3.平行公理的推论(平行的传递性)：
平行同一直线的两直线平行。
∵a∥c，c∥b
∴a∥b
平行线的判定：
1.两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
2.两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：内错角相等，两直线平行。
3.两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
平行线的性质：1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
3.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等。
两个角的数量关系两直线的位置关系：
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
平行线间的距离，处处相等。
如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
基本规律
1.平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反。
2.两条平行线的距离是指垂直线段的长度，两条平行线间的距离处处相等。
3.命题必须是一个完整的句子，而且这个句子必须对某件事作出判断。
平行线的性质实际应用 平行线的性质应用题及答案篇四
《平行线的性质》教学设计
作者： 来源： 时间：2009-5-18 10:19:16 阅读47次 【大 中 小】
一、教学目标
1、知识与技能目标:经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
2、能力目标:经历探索平行线性质的过程,掌握平行线的性质,并能解决一些实际问题。
3、情感态度目标:在自己独立思考的基础上,积极参与小组活动对平行线的性质的讨论,敢于发表自己的看法,并从中获益。
4、品质素养目标:培养学生勤于思考、勇于探索、钻研的品质。
为实现以上教学目标,突出重点,解决难点,充分发挥现代教育技术的作用,我制作了多媒体课件,运用多媒体辅助教学,变静为动,融声、形、色为一体为学生提供生动、形象、直观的观察材料,激发学生学习的积极性和主动性。
二、教学重点和难点
重点:平行线的三个性质以及综合运用平行线性质、判定等知识解题。
难点:区分性质和判定以及怎样综合运用同位角、内错角、同旁内角的关系解题。
三、教材分析
平行线是最简单、最基本的几何图形,在生活中随处可见,它不仅是研究其他图形的基础,而且在实际中也有着广泛的应用。因此,探索和掌握好它的有关知识,对学生更好的认识世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的。
教材设置了一个通过探索平行线性质的活动,在活动中,鼓励学生充分交流,运用多种方法进行探索,尽可能地发现有关事实,并能应用平行线性质解决一些问题,运用自己的语言说明理由,使学生的推理能力和语言表达能力得到提高。为学生今后的学习打下了基础。
因此,无论在知识技能上,还是在学生能力的培养及感情教育等方面,这节课都起着十分重要的作用。
四、学生情况分析
考虑本校处在城乡结合部,大部分学生的基础比较差,缺乏自学能力,动手能力比较差,所以,这个学期应该重视学生学习兴趣和态度的培养、重视学生的自主探索和合作交流以及新意识的培养。利用七年级学生都有好胜、好强的特点,扭转学数学难、数学枯燥的这种局面。形成一种勤动手、勤动脑,勤探索和肯合作交流的良好气氛
五、课前准备
课前准备:多媒体课件、三角尺、直尺。
六、教学过程
问题与情境
师生互动
设计意图
活动1 你身边的问题
问题: 如图,工人在修一条高速公路时在前方遇到一座高山,为了降低施工难度,工程师决定绕过这座山,如果第一个弯是左拐300,那么第二个弯应朝什么方向。才能不改变原来的方向。
学生观察,小组讨论,交流问题并发表见解, 教师进一步引导学生分析,引导学生将这个问题如何转化成数学问题。
本次活动应关注的问题是:
1、不改变方向,在数学中理解应是什么，2、在这个问题中包含了什么问题
3、如何将它转化为数学问题。
通过实例,让学生从具体的实例中发现数学问题,进而寻求解决问题的方法,使学生懂得数学来源于现实,服务于现实生活,同时也调动了学生的积极性,提高了学生的兴起, 活动2: 探究平行线的性质
问题:
1、上节课学习了用一把直尺和一块三角板可以画两条平行线,想一想在这个过程中三角尺取到什么作用,你能不能用两把直尺画出两条平行线,如果不能,为什么?
2、自己阅读课本的21页“探究”部分,并把空填好。
用电脑展示在画平行线时三角尺在其中取到的作用。
学生通过学习测量比较得到这些角中上下两个角的关系, 关注的问题是:
1、注意性质具有一般性。不能简单从几个特殊的例子,就断定它就具有某种性质,而需要一个从特殊到一般的推导过程。
2、理清两条直线平行,同位角相等,内错角也相等,同旁内角互补之间的关系。
通过动手测量提高学生的动手操作能力,并培养学生从特殊需要到一般的推理能力,使其从感性上升到理性认识。
活动3: 运用与推理
问题: 你能根据性质1,说出性质2,性质3成立的理由吗?如图, 因为a∥b.所以∠1=∠2(_______)又∠3=∠_____,(对顶角相等)所以∠2=∠3, 类似地,对于性质3,你能说出道理吗? 想一想:这节课开始的那个问题应该如何解决? 学生回答,再由同学补充。老师纠正。
教师引导学生观察因为所以之间的关系。
能过学生做和说,培养学生的一定的表达能力和逻辑推理能力。
活动4 巩固与提高
问题1:如图直线a,b被直线c所截 ，1、如果a∥b ,∠1=60?那么∠2，∠3,∠4为多少度。为什么?
2、如果∠1=60?∠3=120?直线a、b有什么关系?为什么? 问题2:∠1=100?∠5=100?∠2=60?那么∠
4、∠3为多少度? 解:因为∠1=100?∠5=100?br> 所以∠1=∠____()所以 _____∥_______(), 又因为 ∠2 =60?()所以 ∠4=∠______=______()又因为 ∠4与∠3________()所以 ∠3=180?_____=______?br> 问题3:填一填
如图,已知:∠1=∠abc=∠adc,∠3=∠5,∠2=∠4,∠abc ∠bcd=180?(1)因为∠1=∠abc, 所以 ad∥_____()(2)因为 ∠3=∠5 所以 ab∥_____()(3)因为∠2=∠4 所以 ______∥______()(4)因为∠1=∠adc 所以______∥______()(5)因为∠abc ∠bcd=180 所以 _______∥______()问题4,学与用: 某市为建设社会主义新农村,村村通煤气,市政工作人员已经在道路的两侧铺设了两条平行的燃气管道,如果公路一侧铺设的角度为100?为了便于连接,那么另一侧应以什么角度铺设?为什么? 小结: 布置作业
课本25页的第1、2、3题
由学生独立完成,老师指导,引导学生注意这些之间的关系。
应关注的问题是:
1、平行线的性质和判定的不同。
2、几何推理证明的要领。
3、正确分清推理中因为和所以所表达的意义
通过具体问题,使学生更进一步理解和认识平行线的性质和判定的区别和联系。进一步认识角与角之间的关系,进一步锻炼学生几何证明题的逻辑推理能力
平行线的性质实际应用 平行线的性质应用题及答案篇五
平行线的性质教案2 教学目标
1.经历观察、操作、想像、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力。
2.经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算.重点、难点
重点:探索并掌握平行线的性质,能用平行线性质进行简单的推理和计算.难点:能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用.教学过程
一、引导学生逆向思维
现在同学们已经掌握了利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补, 判定两条直线平行的三种方法.在这一节课里:大家把思维的指向反过来: 如果两条直线平行,那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达?
二、实践探究
1.学生画图活动:用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交,标出所形成的八个角(如课本p21图5.3-1).2.学生测量这些角的度数,把结果填入表内.角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
3.学生根据测量所得数据作出猜想.图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系? 图中哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系? 图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系? 在详尽分析后,让学生写出猜想.4.学生验证猜测.学生活动:再任意画一条截线d,同样度量并计算各个角的度数,你的猜想还成立吗? 5.师生归纳平行线的性质,教师板书.平行线具有性质: 性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行, 同位角相等.性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行, 内错相等.性质3:两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行, 同旁内角互补.教师让学生结合右图,用符号语言表达平行线的这三条性质,教师同时板书平行线的性质和平行线的判定.平行线的性质平行线的判定
因为a∥b, 因为∠1=∠2,所以∠1=∠2 所以a∥b.因为a∥b, 因为∠2=∠3,所以∠2=∠3, 所以a∥b.因为a∥b, 因为∠2+∠4=180°,所以∠2+∠4=180°, 所以a∥b.6.教师引导学生理清平行线的性质与平行线判定的区别.学生交流后,师生归纳:两者的条件和结论正好相反: 由角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补), 得出两条直线平行的论述是平行线的判定,这里角的关系是条件,两直线平行是结论.由已知的两条直线平行得出角的数量关系(指同位角相等,内错角相等, 同旁内角互补)的论述是平行线的性质,这里两直线平行是条件,角的关系是结论.7.进一步研究平行线三条性质之间的关系.教师:大家能根据性质1,推出性质2成立的道理吗? 结合上图,教师启发分析:考察性质
1、性质2的结论发生了什么变化? 学生回答∠1换成∠3,教师再问∠1与∠3有什么关系?并完成说理过程,教师纠正学生错误,规范地给出说理过程.因为a∥b,所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等);又∠3=∠1(对顶角相等),所以∠2=∠3.教师说明:这是有两步的说理,第一步推理根据平行线性质1,第二步推理的条件不仅有∠1=∠2,还有∠3=∠1.∠2=∠3是根据等式性质.根据等式性质得到的结论可以不写理由.学生仿照以下说理,说出如何根据性质1得到性质3的道理.8.平行线性质应用.例(课本p23)如图是一块梯形铁片的线全部分,量得∠a=100°,∠b=115°, 梯形另外两个角分别是多少度?
教师把学生情况,可启发提问:①梯形这条件如何使用?②∠a与∠d、∠b 与∠c的位置关系如何,数量关系呢?为什么? 讲解按课本.三、巩固练习
2.补充:如图,bcd是一条直线,∠a=75°,∠1=53°,∠2=75°,求∠b的度数.本题综合应用平行线的判定和性质,教师要引导学生观察图形,考察已知角的数量关系,确定解题的思路.一、判断题.1.两条直线被第三条直线所截,则同旁内角互补.()2.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么同位角相等.()3.两条平行线被第三条直线所截,则一对同旁内角的平分线互相平行.()
二、填空题.1.如图(1),若ad∥bc,则∠______=∠_______,∠_______=∠_______,∠abc+∠_______=180°;若dc∥ab,则∠______=∠_______,∠________=∠__________,∠abc+∠_________=180°.(1)(2)(3)
平行线的性质教案2 2.如图(2),在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路, 从甲地测得公路的走向是南偏西56°,甲、乙两地同时开工,若干天后公路准确接通, 则乙地所修公路的走向是_________,因为____________.3.因为ab∥cd,ef∥cd,所以______∥______,理由是________.4.如图(3),ab∥ef,∠ecd=∠e,则cd∥ab.说理如下: 因为∠ecd=∠e,所以cd∥ef()又ab∥ef，所以cd∥ab().三、选择题.1.∠1和∠2是直线ab、cd被直线ef所截而成的内错角,那么∠1和∠2 的大小关系是()a.∠1=∠2 b.∠1>∠2;c.∠1<∠2 d.无法确定
2.一个人驱车前进时,两次拐弯后,按原来的相反方向前进, 这两次拐弯的角度是()a.向右拐85°,再向右拐95°;b.向右拐85°,再向左拐85°
c.向右拐85°,再向右拐85°;d.向右拐85°,再向左拐95°
四、解答题
1.如图,已知:∠1=110°,∠2=110°,∠3=70°,求∠4的度数.2.如图,已知:de∥cb,∠1=∠2,求证:cd平分∠ecb.答案:
一、1.× 2.∨ 3.×
二、1.∠1,∠5,∠8,∠4,∠bad;∠2,∠6,∠3,∠7,∠bcd 2.北偏东56°,两直线平行,内错角相等 、ef,两条直线都与第三条直线平行,这两条直线也互相平行 4.内错角相等,两直线平行, 两条直线都与第三条直线平行,这两条直线也互相平行
三、1.d 2.a
四、1.70° 2.因为de∥cb,所以∠1=dcb(两直线平行,内错角相等)又∠1=∠2 所以∠2=∠dcb 即cd平分∠ecb.5.3平行线的性质(第2课时)平行线的性质(二)教学目标
1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力.2.理解两条平行线的距离的含义,了解命题的含义,会区分命题的题设和结论.3.能够综合运用平行线性质和判定解题.重点、难点 重点:平行线性质和判定综合应用,两条平行的距离,命题等概念.难点:平行线性质和判定灵活运用.教学过程
一、复习引入
1.平行线的判定方法有哪些?(注意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论)2.平行线的性质有哪些.3.完成下面填空.已知:如图,be是ab的延长线,ad∥bc,ab∥cd,若∠d=100°,则∠c=_____, ∠a=______,∠cbe=________.4.a⊥b,c⊥b,那么a与c的位置关系如何?为什么?
二、进行新课
1.例1 已知:如上图,a∥c,a⊥b,直线b与c垂直吗?为什么? 学生容易判断出直线b与c垂直.鉴于这一点,教师应引导学生思考:(1)要说明b⊥c,根据两条直线互相垂直的意义, 需要从它们所成的角中说明某个角是90°,是哪一个角?通过什么途径得来?(2)已知a⊥b,这个“形”通过哪个“数”来说理,即哪个角是90°.(3)上述两角应该有某种直接关系,如同位角关系、内错角关系、同旁内角关系,你能确定它们吗? 让学生写出说理过程,师生共同评价三种不同的说理.2.实践与探究
(1)下列各图中,已知ab∥ef,点c任意选取(在ab、ef之间,又在bf的左侧).请测量各图中∠b、∠c、∠f的度数并填入表格.∠b ∠f ∠c ∠b与∠f度数之和
图(1)图(2)通过上述实践,试猜想∠b、∠f、∠c之间的关系,写出这种关系,试加以说明.(1)(2)教师投影题目: 学生依据题意,画出类似图(1)、图(2)的图形,测量并填表,并猜想:∠b+∠f=∠c.在进行说理前,教师让学生思考:平行线的性质对解题有什么帮助? 教师视学生情况进一步引导: ①虽然ab∥ef,但是∠b与∠f不是同位角,也不是内错角或同旁内角.不能确定它们之间关系.②∠b与∠c是直线ab、cf被直线bc所截而成的内错角,但是ab与cf不平行.能不能创造条件,应用平行线性质,学生自然想到过点c作cd∥ab,这样就能用上平行线的性质,得到∠b=∠bcd.③如果要说明∠f=∠fcd,只要说明cd与ef平行,你能做到这一点吗? 以上分析后,学生先推理说明, 师生交流,教师给出说理过程.作cd∥ab,因为ab∥ef,cd∥ab,所以cd∥ef(两条直线都与第三条直线平行, 这两条直线也互相平行).所以∠f=∠fcd(两直线平行,内错角相等).因为cd∥ab.所以∠b=∠bcd(两直线平行,内错角相等).所以∠b+∠f=∠bcf.(2)教师投影课本p23探究的图(图5.3-4)及文字.①学生读题思考:线段b1c1,b2c2……b5c5都与两条平行线的横线a1b5和a2c5垂直吗?它们的长度相等吗? ②学生实践操作,得出结论:线段b1c1,b2c2……,b5c5同时垂直于两条平行直线a1b5和a2c5,并且它们的长度相等.③师生给两条平行线的距离下定义.学生分清线段b1c1的特征:第一点线段b1c1两端点分别在两条平行线上,即它是夹在这两条平行线间的线段,第二点线段b1c1同时垂直这两条平行线.教师板书定义:(像线段b1c1)同时垂直于两条平行线, 并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.④利用点到直线的距离来定义两条平行线的距离.教师画ab∥cd,在cd上任取一点e,作ef⊥ab,垂足为f.学生思考:ef是否垂直直线cd?垂线段ef的长度d是平行线ab、cd的距离吗? 这两个
问题学生不难回答,教师归纳: 两条平行线间的距离可以理解为:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离.教师强调:两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置改变而改变.3.了解命题和它的构成.(1)教师给出下列语句,学生分析语句的特点.①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行;②等式两边都加同一个数,结果仍是等式;③对顶角相等;④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断.(2)给出命题的定义.判断一件事情的语句,叫做命题.教师指出上述四个语句都是命题,而语句“画ab∥cd”没有判断成分,不是命题.教师让学生举例说明是命题和不是命题的语句.(3)命题的组成.①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.②命题的形成.命题通常写成“如果……,那么……”的形式,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.有的命题没有写成“如果……,那么……”的形式,题设与结论不明显,这时要分清命题判断了什么事情,有什么已知事项,再改写成“如果……,那么……”形式.师生共同分析上述四个命题的题设和结论,重点分析第②、③语句.第②命题中,“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设, “结果仍是等式”是结论。
第③命题中,“两个角是对顶角”是题设,“这两角相等”是结论。
三、巩固练习
1.“等式两边乘同一个数,结果仍是等式”是命题吗?它们题设和结论分别是什么? 2.命题“两条平行线被第三第直线所截,内错角相等”是正确的?命题“如果两个角互补,那么它们是邻补角”是正确吗?再举出一些命题的例子,判断它们是否正确.解答:1.是命题,题设是“等式两边乘同一个数”,结论是“结果仍是等式”.2.第一个命题正确,第二个命题错误。可举出例子说明,如两条直线平行,同旁内角互补,但这两个同旁内角不是邻补角。对于学生所举的错误命题,教师应给归纳一下,有两类:第一类是命题题设不足于确定命题结正确,如“同位角相等”,这里条件不够;第二类命题是在命题的题设下,结论不正确。
一、填空题.1.用式子表示下列句子:用∠1与∠2互为余角,又∠2与∠3互为余角,根据“同角的余角相等”,所以∠1和∠3相等_________________.2.把命题“直角都相等”改写成“如果……,那么……”形式___________.3.命题“邻补角的平分线互相垂直”的题设是_____________, 结论是____________.4.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的度数的比为2:7, 则这两个角分别是____________度.二、选择题.1.设a、b、c为同一平面内的三条直线,下列判断不正确的是()a.设a⊥c,b⊥c,则a⊥b b.若a∥c,b∥c,则a∥b
c.若a∥b,b⊥c,则a⊥c d.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
2.若两条平行线被第三条直线所截,则互补的角但非邻补角的对数有()a.6对 b.8对 c.10对 d.12对
3.如图,已知ab∥de,∠a=135°,∠c=105°,则∠d的度数为()a.60° b.80° c.100° d.120°
4.两条直线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线的位置关系是()a.互相平行 b.互相垂直;c.相交但不垂直 d.平行或相交
三、解答题.1.已知,如图1,∠aob纸片沿cd折叠,若o′c∥bd,那么o′d与ac平行吗?请说明理由.2.如图,已知b、e分别是ac、df上的点,∠1=∠2,∠c=∠d.(1)∠abd与∠c相等吗?为什么.(2)∠a与∠f相等吗?请说明理由.3.如图,已知eab是直线,ad∥bc,ad平分∠eac,试判定∠b与∠c的大小关系,并说明理由.4.如(图4),de∥ab,df∥ac,∠edf=85°,∠bdf=63°.(1)∠a的度数;(2)∠a+∠b+∠c的度数.答案:
一、1.因为∠2+∠1=90° 又∠2+∠3=90°,所以∠1=∠3(同角的余角相等)
2.如果两个角是直角,那么这两个角相等
3.两个角是邻补角,这两个角的平分线互相垂直 4.40°,140°
二、1.d 2.b 3.d 4.d
三、1.平行
因为o′c∥bd
所以∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)
又∠1=∠2,∠3=∠4
所以∠1=∠4
所以ac∥o′d(内错角相等,两直线平行)
2.(1)相等.因为∠1=∠2，所以bd∥ce(内错角相等,两直线平行)
所以∠abd=∠c(两直线平行,同位角相等)
(2)相等 因为∠abd= ∠c 又∠d=∠c
所以∠d=∠abd
所以df∥ac(内错角相等,两直线平行)
所以∠a=∠f(两直线平行,内错角相等)
3.∠b=∠c 因为ad∥bc
所以∠b=∠ead(两直线平行, 同位角相等), ∠c=∠cad(两直线平行,内错角相等)
又∠ead=∠cad(角平分线定义)所以∠b=∠
