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人的记忆力会随着岁月的流逝而衰退，写作可以弥补记忆的不足，将曾经的人生经历和感悟记录下来，也便于保存一份美好的回忆。范文怎么写才能发挥它最大的作用呢？以下是我为大家搜集的优质范文，仅供参考，一起来看看吧
平行线及其判定的概念 平行线的判定方法五种篇一
1．平行线的判定公理
(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行． 如图，推理符号表示为：
∵∠1＝∠2，∴ab∥cd
.谈重点同位角相等，两直线平行
①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．
(2)平行公理的推论：
①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；
②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】 工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘ab和cd是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠egb和∠gfd的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠egb和∠gfd满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？
解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠egb和∠gfd是直线ab和直线cd(墙的上下边缘)被直线ef所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠egb和∠gfd相等时，墙壁的上下边缘才会平行．
答案：∠egb和∠gfd相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两
直线平行．
2．平行线的判定定理
(1)判定定理
1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单记为：同旁内角互补，两直线平行．
符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴ab∥cd
.谈重点同旁内角互补，两直线平行
①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内
角，使哪两条直线平行．
(2)判定定理2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单记为：内错角相等，两直线平行．
符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴ab∥cd.【例2－1】 如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线ab和cd，这是根据________，两直线平行．
解析：由题图可看出，直线ab和cd被直线bc所截，此时两块相同的三角板的两个
最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．
答案：内错角相等
【例2－2】 如图，下列说法中，正确的是()．
a．因为∠a＋∠d＝180°，所以ad∥bc
b．因为∠c＋∠d＝180°，所以ab∥cd
c．因为∠a＋∠d＝180°，所以ab∥cd
3．平行线的判断方法
平行线的判定方法主要有以下六种：
(1)平行线的定义(一般很少用)．
(2)同位角相等，两直线平行．
(3)同旁内角互补，两直线平行．
(4)内错角相等，两直线平行．
(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．
(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
析规律如何选择判定两直线平行的方法
①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；
②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．
【例3】 如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，„，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法．
若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一个条件；
若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一个； 若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一个条件；
从其他方面考虑，还可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一个条件．
答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°„
4．平行线判定的应用
(1)平行线的生活应用
数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求„„
对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．
(2)平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．
释疑点判定平行的关键 判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．
【例4－1】 如图，一个零件abcd需要ab边与cd边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠abc＝120°，∠bcd＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．
解析：要判断ab边与cd边平行，则需满足同旁内角互补的条件．∵∠abc＝120°，∠bcd＝60°，∴∠abc＋∠bcd＝120°＋60°＝180°.∴ab∥cd.∴这个零件合格．
答案：合格
【例4－2】 已知：如图在四边形abcd中，∠a＝∠d，∠b＝∠c，试判断ad与bc的位置关系，并说明理由．
分析：根据四边形abcd的内角和是360°，结合已知条件得到∠a＋∠b＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得ad∥bc.解：ad与bc的位置关系是平行．
理由：∵四边形abcd的内角和是360°，∴∠a＋∠b＋∠c＋∠d＝360°.∵∠a＝∠d，∠b＝∠c，∴∠a＋∠b＝180°.∴ad∥bc(同旁内角互补，两直线平行)．
点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行．
平行线及其判定的概念 平行线的判定方法五种篇二
平行线及其判定（基础）知识讲解 撰稿：孙景艳审稿： 赵炜
【学习目标】
1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；
2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.【要点梳理】
要点
一、平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.要点
二、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点
三、直线平行的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠
2∴ ab∥cd（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ ab∥cd（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ ab∥cd（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】
类型
一、平行线的定义及表示
1．下列叙述正确的是()
a．两条直线不相交就平行
b．在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线
c．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
d．在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线
【答案】c
【解析】在同一平面内两条直线的位置关系是不相交就平行，但在空间就不一定了，故a选项错；平行线是在同一平面内不相交的两条直线，不相交的两条曲线就不是平行线，故b选项错；平行线是针对两条直线而言．不相交的两条线段所在的直线不一定不相交，故d选项错．
【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断． 举一反三： 【变式】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有（）
a．平行或垂直b．平行或相交c．垂直或相交d．平行、垂直或相交
【答案】b
类型
二、平行公理及推论
2．下列说法中正确的有()
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
a．1个b 2个c．3个d．4个
【答案】 a
【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选a．
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．
举一反三：
【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是.【答案】平行
类型
三、两直线平行的判定
3.(江苏)如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：
①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2+∠3＝180°；④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是().a．①②b．①③c．①④d．③④
【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断．
【答案】a
【解析】①由∠1＝∠5可推出a∥b，理由是同位角相等，两直线平行．
②∵∠1＝∠7，又∠7＝∠5，∴∠1＝∠5，可推出a∥b．
③∠2+∠3＝180°不能推出a∥b．
④∠4＝∠7不能推出a∥b．
【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．
举一反三：
【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）.a．∠1=∠3b．∠2=∠3c．∠4=∠5d．∠2+∠4=1800
【答案】b
【高清课堂：平行线及判定例1】
【变式2】已知，如图，be平分abc，cf平分bcd，1=2，求证：ab//cd．
【答案】∵ 1=2
∴ 21=22，即∠abc＝∠bcd
∴ ab//cd（内错角相等，两直线平行）
4.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠bad＝∠dcb，可以判定哪两条直线平行．
【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．
【答案与解析】
解：(1)由∠1＝∠3，可判定ad∥bc（内错角相等，两直线平行）；
(2)由∠bad＝∠dcb，∠1＝∠3得：
∠2＝∠bad-∠1＝∠dcb-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4
可以判定ab∥cd（内错角相等，两直线平行）．
综上，由（1）（2）可判定：ad∥bc，ab∥cd.【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．
5.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
【答案与解析】
解：这两条直线平行.理由如下：
如图：
∵ b⊥a,c⊥a
∴ ∠1＝∠2＝90°
∴b∥c(同位角相等，两直线平行)．
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.【高清课堂：平行线及判定例5】
举一反三：
【变式】已知，如图，efeg，gmeg，1=2，ab与cd平行吗？请说明理由．
【答案】
解：ab∥cd．理由如下：如图：
∵ efeg，gmeg(已知)，∴∠feq＝∠mge＝90°(垂直的定义)．
又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠feq-∠1＝∠mge-∠2(等式性质)，即∠3＝∠4．
∴ ab∥cd(同位角相等，两直线平行)．
平行线及其判定的概念 平行线的判定方法五种篇三
让更多的孩子得到更好的教育
平行线及其判定（提高）知识讲解
撰稿：孙景艳 审稿： 赵炜
【学习目标】
1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系； 2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.【要点梳理】
要点
一、平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.要点
二、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与
让更多的孩子得到更好的教育
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠3＝∠2 ∴ ab∥cd（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠1＝∠2 ∴ ab∥cd（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ ab∥cd（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】
类型
一、平行线的定义及表示
1．下列说法正确的是（）
a．不相交的两条线段是平行线.b．不相交的两条直线是平行线.c．不相交的两条射线是平行线.d．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】d
【解析】平行线定义中三个关键词语：“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”.【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断． 类型
二、平行公理及推论
2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：()a．1个
b．2个
c．3个
d．4个 【答案】b
【解析】正确的是：（1）(3).【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别． 举一反三：
【变式】下列说法正确的个数是（）
（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.（2）两条直线被
让更多的孩子得到更好的教育
（3）两条直线被
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【思路点拨】利用辅助线把ab、ef联系起来．
【答案与解析】
解法1：如图所示，在∠bcd的内部作∠bcm＝25°，在∠cde的内部作∠edn＝10°．
∵
∠b＝25°，∠e＝10°(已知)，∴
∠b＝∠bcm，∠e＝∠edn(等量代换)．
∴
ab∥cm，ef∥dn(内错角相等，两直线平行)．
又∵
∠bcd＝45°，∠cde＝30°(已知)，∴
∠dcm＝20°，∠cdn＝20°(等式性质)．
∴
∠dcm＝∠cdn(等量代换)．
∴
cm∥dn(内错角相等，两直线平行)．
∵
ab∥cm，ef∥dn(已证)，∴
ab∥ef(平行线的传递性)．
解法2：如图所示，分别向两方延长线段cd交ef于m点、交ab于n点．
∵
∠bcd＝45°，∴
∠ncb＝135°．
∵
∠b＝25°，∴
∠cnb＝180°-∠ncb-∠b＝20°(三角形的内角和等于180°)．
又∵
∠cde＝30°，∴
∠edm＝150°．
又∵
∠e＝10°，∴
∠emd＝180°-∠edm-∠e＝20°(三角形的内角和等于180°)．
∴
∠cnb＝∠emd(等量代换)．
所以ab∥ef(内错角相等，两直线平行)． 【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取．
举一反三：
【高清课堂：平行线及判定403102经典例题2 】【变式1】已知，如图，be平分abd，de平分cdb，且1与2互余，试判断直线ab、cd的位置关系，请说明理由．
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687
让更多的孩子得到更好的教育
【答案】
解：ab∥cd，理由如下：
∵
be平分∠abd，de平分∠cdb，∴
∠abd＝2∠1，∠cdb＝2∠2．
又∵
∠1+∠2＝90°，∴
∠abd+∠cdb＝180°．
∴
ab∥cd(同旁内角互补，两直线平行)．
【高清课堂：平行线及判定403102 经典例题4 】
【变式2】已知，如图，abbd于b，cdbd于d，1+2=180°，求证：cd//ef．
【答案】
证明：∵abbd于b，cdbd于d，∴ab∥cd．
又∵1+2=180°，∴ab∥ef． ∴cd//ef．
地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687
平行线及其判定的概念 平行线的判定方法五种篇四
平行线的判定练习精编
一．选择题（共30小题）1．若∠1与∠2是同旁内角，∠1=30°，则（）
a．∠2=150° b．∠2=30° c．∠2=150°或30° d．∠2的大小不能确定
2．下列说法中可能错误的是（）
a．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 b．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 c．两条直线相交，有且只有一个交点 d．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直
3．下面各语句中，正确的是（）
a．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 b．垂直于同一条直线的两条直线平行 c．若a∥b，c∥d，则a∥d d．同旁内角互补，两直线平行
4．（2005•哈尔滨）下列命题中，正确的是（）
a．任何数的平方都是正数 b．相等的角是对顶角 c．内错角相等 d．直角都相等
5．如图，下列说法中，正确的是（）
a．因为∠a+∠d=180°，所以ad∥bc b．因为∠c+∠d=180°，所以ab∥cd c．因为∠a+∠d=180°，所以ab∥cd d．因为∠a+∠c=180°，所以ab∥cd
6．如图，要得到a∥b，则需要条件（）
a．∠2=∠4 c．∠1+∠2=180°
7．根据图，下列推理判断错误的是（）b．∠1+∠3=180°
d．∠2=∠3
a．因为∠1=∠2，所以c∥d b．因为∠3=∠4，所以c∥d c．因为∠1=∠3，所以c∥d d．因为∠2=∠3，所以a∥b 8．如图所示，下列条件中，能判断直线l1∥l2的是（）
a．∠2=∠3 b．∠1=∠3 c．∠4+∠5=180° d．∠2=∠4
9．如图，点e在bc的延长线上，由下列条件不能得到ab∥cd的是（）
a．∠1=∠2 b．∠b=∠dce c．∠3=∠4 d．∠d+∠dab=180°
10．下列说法正确的是（）
a．同位角相等 b．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c 果a∥b，b∥c，则a∥c
11．下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（）
c．相等的角是对顶角 d．在同一平面内，如
a．（1）、（2）b．（3）、（4）c．（1）、（2）、（3）d．（2）、（3）、（4）
12．∠1与∠2是内错角，∠1=40°，则（）
a．∠2=40° b．∠2=140° c．∠2=40°或∠2=140° d．∠2的大小不确定
13．直线a、b、c中，a∥b，b∥c，则直线a与直线c的关系是（）
a．相交 b．平行 c．垂直 d．不确定
14．（2009•桂林）如图，在所标识的角中，同位角是（）
a．∠1和∠2 b．∠1和∠3 c．∠1和∠4 d．∠2和∠3
15．如图，在下列结论给出的条件中，不能判定ab∥df的是（）
a．∠2+∠a=180° b．∠a=∠3 c．∠1=∠4 d．∠1=∠a
16．如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是（）
a．同位角 b．内错角 c．对顶角 d．同旁内角
17．下图中，∠1和∠2是同位角的是（）
a． b． c． d．
18．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有（）
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个
19．在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（）
a．平行 b．相交 c．平行或相交 d．平行、相交或垂直
20．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）
a．②③ b．①②③ c．①②④ d．①④
21．如图，下列条件中，能判定de∥ac的是（）
22．给出下列说法：
a．∠edc=∠efc b．∠afe=∠acd c．∠3=∠4
d．∠1=∠2
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（3）相等的两个角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离． 其中正确的有（）
a．0个 b．1个 c．2个 d．3个
23．（2007•绍兴）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
a．①② b．②③ c．③④ d．①④
24．（2006•梧州）有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（）
a．2个 b．3个 c．4个 d．5个
25．（2005•潍坊）如图，在△abc中，d、e、f分别在ab、bc、ac上，且ef∥ab，要使df∥bc，只需满足下列条件中的（）
a．∠1=∠2
26．如图，不能作为判断ab∥cd的条件是（）
b．∠2=∠afd c．∠1=∠afd d．∠1=∠dfe
a．∠feb=∠ecd b．∠aec=∠ecd c．∠bec+∠ecd=180° d．∠aeg=∠dch 27．（2008•十堰）如图，点e在ad的延长线上，下列条件中能判断bc∥ad的是（）
a．∠3=∠4 b．∠a+∠adc=180° c．∠1=∠2 d．∠a=∠5 28．（2003•河北）某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（）
a．第一次左拐30°，第二次右拐30° b．第一次右拐50°，第二次左拐130° c．第一次右拐50°，第二次右拐130° d．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°
29．同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）
a．a∥d b．b⊥d c．a⊥d d．b∥c
30．如图，点e在cd延长线上，下列条件中不能判定ab∥cd的是（）
a．∠1=∠2 b．∠3=∠4
c．∠5=∠b
d．∠b+∠bdc=180°
答案与评分标准
一．选择题（共30小题）1．若∠1与∠2是同旁内角，∠1=30°，则（）
a．∠2=150° b．∠2=30° c．∠2=150°或30° d．∠2的大小不能确定 考点：同位角、内错角、同旁内角。
分析：两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系．
解答：解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补． 故选d．
点评：特别注意，同旁内角互补的条件是两直线平行．
2．下列说法中可能错误的是（）
a．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 b．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 c．两条直线相交，有且只有一个交点 d．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 考点：平行公理及推论；相交线；垂线。
分析：根据平行公理和相交线、垂线的定义利用排除法求解．
解答：解：a、应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误； b、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； c、两条直线相交，有且只有一个交点，正确；
d、若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，直线垂直的定义，正确． 故选a．
点评：本题主要考查公理定义，熟练记忆公理和定义是学好数学的关键．
3．下面各语句中，正确的是（）
a．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 b．垂直于同一条直线的两条直线平行 c．若a∥b，c∥d，则a∥d d．同旁内角互补，两直线平行 考点：平行线的判定。
分析：根据相关的定义或定理判断．
解答：解：a、应强调两直线平行，被第三条直线所截，才能同位角相等； b、应强调在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； c、应为a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d； 只有d正确． 故选d．
点评：叙述命题时要注意所学定理叙述的完整性，注意定理成立的条件．
4．（2005•哈尔滨）下列命题中，正确的是（）
a．任何数的平方都是正数 b．相等的角是对顶角 c．内错角相等 d．直角都相等 考点：同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角；垂线。
分析：根据平方、对顶角、内错角、直角的定义和性质，对选项一一分析，排除错误答案． 解答：解：a、因为0的平方是0，故错误；
b、对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误； c、只有两直线平行，内错角才相等，故错误； d、直角都是90°的角，所以都相等，故正确． 故选d．
点评：解答此题的关键是对考点知识熟练掌握和运用．
5．如图，下列说法中，正确的是（）
a．因为∠a+∠d=180°，所以ad∥bc b．因为∠c+∠d=180°，所以ab∥cd c．因为∠a+∠d=180°，所以ab∥cd d．因为∠a+∠c=180°，所以ab∥cd 考点：平行线的判定。
分析：a、b、c、根据同旁内角互补，判定两直线平行；d、∠a与∠c不能构成三线八角，因而无法判定两直线平行．
解答：解：a、因为∠a+∠d=180°，由同旁内角互补，两直线平行，所以ab∥cd，错误； b、因为∠c+∠d=180°，由同旁内角互补，两直线平行，所以ad∥bc，错误； c、正确； d、∠a与∠c不能构成三线八角，无法判定两直线平行，错误． 故选c．
点评：平行线的判定：
同位角相等，两直线平行． 内错角相等，两直线平行． 同旁内角互补，两直线平行．
6．如图，要得到a∥b，则需要条件（）
a．∠2=∠4 b．∠1+∠3=180° c．∠1+∠2=180° d．∠2=∠3 考点：平行线的判定。
分析：在复杂的图形中具有相等关系的两角要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 解答：解：a、∵∠2=∠4，∴c∥d（同位角相等，两直线平行）； b、∵∠1+∠3=180°，c∥d（同旁内角互补，两直线平行）； c、∵∠1+∠2=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）； d、∠2与∠3不能构成三线八角，无法判定两直线平行． 故选c．
点评：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
7．根据图，下列推理判断错误的是（）
a．因为∠1=∠2，所以c∥d b．因为∠3=∠4，所以c∥d c．因为∠1=∠3，所以c∥d d．因为∠2=∠3，所以a∥b 考点：平行线的判定。
分析：根据平行线的判定定理进行解答． 解答：解：a、正确，因为∠1=∠2，由内错角相等，两直线平行，所以c∥d； b、正确，因为∠3=∠4，由同位角相等，两直线平行，所以c∥d； c、三不符合平行线的判定条件，所以无法确定两直线平行． d、正确，因为∠2=∠3，由同位角相等，两直线平行，所以a∥b． 故选c．
点评：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
8．如图所示，下列条件中，能判断直线l1∥l2的是（）
a．∠2=∠3 b．∠1=∠3 c．∠4+∠5=180° d．∠2=∠4 考点：平行线的判定。
分析：要证明两直线平行，则要找到同位角、内错角相等，同旁内角互补等． 解答：解：a、∠2和∠3不是直线l1、l2被第三条直线所截形成的角，故不能判断直线l1∥l2． b、∵∠1=∠3，∴l1∥l2（同位角相等两直线平行）． c、∠
4、∠5是直线l1、l2被第三条直线所截形成的同位角，故∠4+∠5=180°不能判断直线l1∥l2． d、∠
2、∠4是直线l1、l2被第三条直线所截形成的同旁内角，故∠2=∠4不能判断直线l1∥l2． 故选b．
点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
9．如图，点e在bc的延长线上，由下列条件不能得到ab∥cd的是（）
a．∠1=∠2 b．∠b=∠dce c．∠3=∠4 d．∠d+∠dab=180° 考点：平行线的判定。
分析：根据平行线的判定定理进行逐一分析解答即可．
解答：解：a、正确，符合内错角相等，两条直线平行的判定定理； b、正确，符合同位角相等，两条直线平行的判定定理； c、错误，若∠3=∠4，则ad∥be；
d、正确，符合同旁内角互补，两条直线平行的判定定理； 故选c．
点评：本题考查的是平行线的判定定理，比较简单．
10．下列说法正确的是（）
a．同位角相等 b．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c c．相等的角是对顶角 d．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c 考点：平行公理及推论；对顶角、邻补角；平行线的判定。分析：根据平行线的性质和判定以及对顶角的定义进行判断．
解答：解：a、只有在两直线平行这一前提下，同位角才相等，故错误； b、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以b错误；
c、相等的角不一定是对顶角，因为对顶角还有位置限制，所以c错误； d、由平行公理的推论知，d正确． 故选d．
点评：本题考查了平行线的性质、判定，对顶角的性质，注意对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角．
11．下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（）
a．（1）、（2）b．（3）、（4）c．（1）、（2）、（3）d．（2）、（3）、（4）考点：同位角、内错角、同旁内角。
分析：互为同位角的两个角，都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角． 解答：解：根据同位角的定义，图（1）、（2）中，∠1和∠2是同位角； 图（3）∠
1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角； 图（4）∠
1、∠2不在被截线同侧，不是同位角． 故选a．
点评：本题考查同位角的概念，是需要熟记的内容．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．
12．∠1与∠2是内错角，∠1=40°，则（）
a．∠2=40° b．∠2=140° c．∠2=40°或∠2=140° d．∠2的大小不确定 考点：同位角、内错角、同旁内角。
分析：两直线平行时内错角相等，不平行时无法确定内错角的大小关系．
解答：解：内错角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，内错角才相等． 故选d．
点评：特别注意，内错角相等的条件是两直线平行．
13．直线a、b、c中，a∥b，b∥c，则直线a与直线c的关系是（）
a．相交 b．平行 c．垂直 d．不确定 考点：平行公理及推论。
分析：根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 解答：解：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b，故选b．
点评：本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
14．（2009•桂林）如图，在所标识的角中，同位角是（）
a．∠1和∠2 b．∠1和∠3 c．∠1和∠4 d．∠2和∠3 考点：同位角、内错角、同旁内角。
分析：同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角． 解答：解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，a、∠1和∠2是邻补角，错误； b、∠1和∠3是邻补角，错误； c、∠1和∠4是同位角，正确； d、∠2和∠3是对顶角，错误．故选c．
点评：解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
15．如图，在下列结论给出的条件中，不能判定ab∥df的是（）
a．∠2+∠a=180° b．∠a=∠3 c．∠1=∠4 d．∠1=∠a 考点：平行线的判定。
分析：利用平行线的判定定理，逐一判断． 解答：解：a、∵∠2+∠a=180，∴ab∥df（同旁内角互补，两直线平行）； b、∵∠a=∠3，∴ab∥df（同位角相等，两直线平行）； c、∵∠1=∠4，∴ab∥df（内错角相等，两直线平行）． 故选d．
点评：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
16．如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是（）
a．同位角 b．内错角 c．对顶角 d．同旁内角 考点：同位角、内错角、同旁内角。
分析：拇指所在直线被两个食指所在的直线所截，因而构成的一对角可看成是内错角． 解答：解：角在被截线的内部，又在截线的两侧，符合内错角的定义，故选b．
点评：本题主要考查了内错角的定义．
17．下图中，∠1和∠2是同位角的是（）
a． b． c． d．
考点：同位角、内错角、同旁内角。
分析：本题考查同位角的定义，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．根据定义，逐一判断． 解答：解：a、∠
1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角； b、∠
1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角； c、∠
1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角； d、∠
1、∠2有一边在同一条直线上，又在被截线的同一方，是同位角． 故选d．
点评：判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
18．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有（）
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个 考点：平行线的判定。
分析：根据对顶角的性质和平行线的判定定理，逐一判断． 解答：解：①是正确的，对顶角相等； ②正确，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行； ③错误，角平分线分成的两个角相等但不是对顶角； ④错误，同位角只有在两直线平行的情况下才相等． 故①②正确，③④错误，所以错误的有两个，故选b．
点评：平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要学会区分不同概念之间的联系和区别．
19．在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（）
a．平行 b．相交 c．平行或相交 d．平行、相交或垂直 考点：平行线；相交线。
分析：在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交．
解答：解：根据在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交．可知a、b都不完整，故错误，而d选项中，垂直是相交的一种特殊情况，故选c．
点评：本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．
20．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）
a．②③ b．①②③ c．①②④ d．①④ 考点：同位角、内错角、同旁内角。
分析：此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求． 解答：解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选c．
点评：判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
21．如图，下列条件中，能判定de∥ac的是（）
a．∠edc=∠efc b．∠afe=∠acd c．∠3=∠4 d．∠1=∠2 考点：平行线的判定。
分析：可以从直线de、ac的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断． 解答：解：∠edc=∠efc不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行； ∠afe=∠acd，∠1=∠2是ef和bc被ac所截得到的同位角和内错角，因而可以判定ef∥bc，但不能判定de∥ac； ∠3=∠4这两个角是ac与de被ec所截得到的内错角，可以判定de∥ac． 故选c．
点评：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
22．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（3）相等的两个角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离． 其中正确的有（）
a．0个 b．1个 c．2个 d．3个
考点：同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角；点到直线的距离。
分析：正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离的概念，逐一判断． 解答：解：（1）同位角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，同位角相等，错误；（2）强调了在平面内，正确；（3）不符合对顶角的定义，错误；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度． 故选b．
点评：对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
23．（2007•绍兴）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
a．①② b．②③ c．③④ d．①④
考点：平行线的判定。专题：操作型。
分析：解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点p所折折痕与虚线垂直． 解答：解：由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等； 可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
故选c．
点评：理解折叠的过程是解决问题的关键．
24．（2006•梧州）有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（）
a．2个 b．3个 c．4个 d．5个
考点：同位角、内错角、同旁内角；线段的性质：两点之间线段最短。
分析：此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，补角的定义等来一一验证，从而求解． 解答：解：①忽略了两条直线必须是平行线； ③不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线，才是对顶角； ④举一反例即可证明是错的：80°+60°=170°，170°显然不是锐角，故①③④是错的． ②是公理故正确；⑤根据补角定义如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，同角的补角相等．比如：∠a+∠b=180°，∠a+∠c=180°，则∠c=∠b． 等角的补角相等．比如：∠a+∠b=180°，∠d+∠c=180°，∠a=∠d，则∠c=∠b． ∴②⑤是正确的． 故选a．
点评：此题涉及知识较多，请同学们认真阅读，最好借助图形来解答．
25．（2005•潍坊）如图，在△abc中，d、e、f分别在ab、bc、ac上，且ef∥ab，要使df∥bc，只需满足下列条件中的（）
a．∠1=∠2 b．∠2=∠afd c．∠1=∠afd d．∠1=∠dfe 考点：平行线的判定。分析：要使df∥bc，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，选项中∠1=∠dfe，根据已知条件可得∠1=∠2，所以∠dfe=∠2，满足关于df，bc的内错角相等，则df∥bc． 解答：解：∵ef∥ab，∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）． ∵∠1=∠dfe，∴∠2=∠dfe（等量代换），∴df∥bc（内错角相等，两直线平行）． 所以只需满足下列条件中的∠1=∠dfe． 故选d．
点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
26．如图，不能作为判断ab∥cd的条件是（）
a．∠feb=∠ecd b．∠aec=∠ecd c．∠bec+∠ecd=180° d．∠aeg=∠dch 考点：平行线的判定。
分析：利用平行线的判定定理，逐一判断． 解答：解：a、正确，∵∠feb=∠ecd，∴ab∥cd（同位角相等，两直线平行）． b、正确，∵∠aec=∠ecd，∴ab∥cd（内错角相等，两直线平行）． c、正确，∵∠bec+∠ecd=180°，∴ab∥cd（同旁内角互补，两直线平行）． 故选d．
点评：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
27．（2008•十堰）如图，点e在ad的延长线上，下列条件中能判断bc∥ad的是（）
a．∠3=∠4 b．∠a+∠adc=180° c．∠1=∠2 d．∠a=∠5 考点：平行线的判定。专题：几何图形问题。
分析：结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法判断． 解答：解：∵∠1=∠2，∴bc∥ad（内错角相等，两直线平行）． 故选c．
点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．
28．（2003•河北）某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（）
a．第一次左拐30°，第二次右拐30° b．第一次右拐50°，第二次左拐130° c．第一次右拐50°，第二次右拐130° d．第一次向左拐50°，第二次向左拐120° 考点：平行线的判定。专题：应用题。
分析：两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案． 解答：解：如图所示（实线为行驶路线）：
a符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定． 故选a．
点评：本题考查平行线的判定，熟记定理是解决问题的关键．
29．同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）
a．a∥d b．b⊥d c．a⊥d d．b∥c 考点：平行线的判定；垂线。
分析：根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a∥c，再结合c⊥d，可证a⊥d． 解答：解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，∵c⊥d，∴a⊥d．故选c．
点评：此题主要考查了平行线及垂线的性质．
30．如图，点e在cd延长线上，下列条件中不能判定ab∥cd的是（）
a．∠1=∠2 b．∠3=∠4 d．∠b+∠bdc=180° 考点：平行线的判定。
分析：根据平行线的判定方法直接判定． 解答：解：选项b中，∵∠3=∠4，∴ab∥cd（内错角相等，两直线平行），所以正确； 选项c中，∵∠5=∠b，∴ab∥cd（内错角相等，两直线平行），所以正确； 选项d中，∵∠b+∠bdc=180°，∴ab∥cd（同旁内角互补，两直线平行），所以正确； 而选项a中，∠1与∠2是直线ac、bd被ad所截形成的内错角，因为∠1=∠2，所以应是ac∥bd，故a错误． 故选a．
点评：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
c．∠5=∠b
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平行线及其判定的概念 平行线的判定方法五种篇五
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平行线及其判定
（二）三维目标
1．会判断内错角、同旁内角．
2．掌握直线平行的第二种方法和第三种方法及其应用．
3．创设情境，激发学生积极参与交流、学习，主动解决问题，•鼓励其创造精神，并从中获得成就感．
教学重点:判定两条直线平行的第二种和第三种方法．
教学难点:两条直线平行的条件的应用．
导入新课
活动1．小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，•于是他在两个边缘之间画了一条线段ab．（如图1所示）
小明身边只有一个量角器，•他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
设计意图：上一节我们学习了判定两直线平行的第一种方法“同位角相等，两直线平行”，但右图中并没有同位角，有没有别的方法可以判断两直线平行呢？为学生创造了一个发现问题、解决问题的空间，提供了一个实践和创新的机会．
师生行为：学生分组讨论、寻找解决问题的方法；教师可参与到学生的讨论中，或引导学生寻找解决问题的途径．
在此活动中，教师应重点关注：
（1）学生是否积极地寻求解决问题的方案；
（2）学生能否在小组内交流合作，虚心听取听人意见．
生：我们说：两条线段平行是指这两条线段所在的直线平行．所以我想把这个图形中的上下边缘及线段ab都变成直线，则图形变为图2．
在图2中可以看到：∠1与∠2是同位角，∠3与∠2是对顶角，并且相等，•所以只要∠1=∠3，即直线cd∥ef．
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生：实际上只需要把线段ab延长即可．
师：同学们讨论得很精彩，知道只要量出如图3所示的∠1与∠3的度数，就可知画板的上下边缘是否平行．那这两个角是什么样的角呢？两直线平行还有哪些条件呢？•这节课我们来继续探讨：直线平行的条件．
推理新课
活动2．如图4，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成直线．•在直线a、b被直线c所截成的角中，∠1和∠2是同位角．∠2和∠3有怎样的位置关系？•∠2和∠4呢？转动木条a或b，这些角之间还保持这种关系吗？
设计意图：两条直线被第三条直线所截所组成的“三线八角”中除了同位角，还有内错角、同旁内角．本活动通过学生实际操作或直观演示，更好地复习同位角、内错角、同旁内角的位置关系，为进一步研究直线平行的第二种和第三种方法打基础．
师生行为：生：如图4所示，∠2和∠3是内错角，“错”是交错的意思，•内错角在被截两直线之间，称为“内”，第三条直线即截线的两旁、交错，很形象地称为内错角．
而∠2和∠4是同旁内角，我们不难发现，∠2和∠4在截线同旁，在被截两条直线之间（之内）．
生：转动a和b，这些角之间仍保持着这种关系．
师：图中还有其他的同旁内角和内错角吗？
生：有．例如∠3和∠6是同旁内角、∠4和∠6是内错角．
师：我们继续研究同位角、内错角、同旁内角的位置关系．
活动3．思考：
（1）如图5，如果∠2=∠3，能得出a∥b吗？
（2）如果∠2+∠4=180°，能得出a∥b吗？
设计意图：此活动是由方法一经过简单推理得出方法二，而由方法一或方法二得出方法三．这里由学生完成，目的是让学生学着自己去进行简单的推理证明，而不仅仅是观察、实验、探究得出结论．
师生行为：由学生独立完成，然后小组交流、归纳、总结；教师可引导学生分析思路，寻求解决问题的一般途径．
教师应关注：
（1）学生能否进行简单的推理；（2）学生能否实现由新知识到旧知识的转化；•（3）学生能否体验到情感、态度、价值观．
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生：（1）因为∠1=∠3（对顶角相等），又∠2=∠3，所以∠1=∠2．
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）．
师：好．我们由此可得“内错角相等，两直线平行”即两直线平行的判定方法2．
生：（2）因为∠1+∠4=180°，又∠2+∠4=180°，所以∠1=∠2（同角的补角相等）．
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）．
师：很好．我们得到“同旁内角互补，两直线平行”的第三种判定两直线平行的方法．
到此为止，我们学习了判定两直线平行的三种方法：
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行．
师生共析：遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已经解决的）问题来解决．这一节中，我们是怎样利用“同位角相等，两直线平行”得到“内错角相等，两直线平行”的？你能利用“内错角相等，两直线平行”得到“同旁内角互补，两直线平行”吗？
即如图19，已知∠2+∠4=180°，能得出a∥b吗？
生：可以．因为∠3+∠4=180°（邻补角定义），又∠2+∠4=180°（已知），所以∠2=∠3（同角的补角相等）．
所以a∥b（内错角相等，两直线平行）．
活动4．思考：这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分（如图6），•其中的横格线互相平行吗？你有多少种判别方法？
练习：在铺设铁轨时，两要直轨必须是互相平行的．如图7，已经知道∠2•是直角，那么再度量图7中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由．
设计意图：目的在于应用直线平行的判定方法解决问题．选取生活中有趣的例子能激发
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学生的学习兴趣，开阔思维，增强数学的应用意识．
师生行为：由学生独立思考，然后小组交流；教师注重对不同层次学生给予指导．
在此活动中，教师需关注：
（1）不同的学生得到不同的发展；
（2）鼓励用自己的语言说明理由；
（3）鼓励学生交流，充分表现学生各自的发现．
生：用一条直线截英语抄写纸上的横格线，就可得到同位角或内错角或同旁内角，再用量角器测量同位角或内错角或同旁内角的度数关系，从而判断它们是否平行．
生：我们在前面画平行线时，曾用过推三角板的方式，在这里也可以．
师：很好．同学们下面不妨先看一个例题．
例题：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
分析：垂直总是与直角联系在一起．
答：这两条直线平行．理由如下：
因为b⊥a，c⊥a，所以∠1=∠2=90°，从而b∥c（为什么）．
你还能利用其他方法说明b∥c吗？
师：我们回到前面的问题，利用例题的结论更简单．
生：练习：因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90°，根据“同位角相等，两直线平行”就可判断两条直轨平行．类似地，∠5和∠2是内错角，∠3和∠2是同旁内角，如果度量出它们是直角，也可以判断两条直轨平行．
课堂小结
1．谈谈本节课有哪些收获？ 2．重点掌握平行线的判定． 3．理解平行公理．
布置作业
习题5．2 4、5．
活动与探究
如图9（1），∠baf=46°，∠ace=136°，ce⊥cd，问：cd∥ab吗？为什么？
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解：cd∥ab．
所以∠fab+∠bac=180°，∠fab=46°，所以∠bac=134°，又因为ce⊥cd，则∠dce=90°．又因为∠dce+∠dca+∠ace=360°，∠ace=136°，所以∠acd=•134°．因此∠acd=∠bac，从而得ab∥cd．
或：把cd反向延长，如图9（2），则∠ace=∠acg+∠gce．
因为ce⊥cd，所以∠dce=∠ecg=90°．
又因为∠ace=136°，所以∠acg=46°．
又因为∠fab=46°，所以∠acg=∠fab．
从而得ab∥dg，即ab∥cd．
备课资料
一、行车中的平行路线
一座城市的一部分交通路线，如图10所示：
一辆汽车沿公路a行驶至交叉道口处，向右拐120°角行驶到公路c上，•在下一个交叉路口处，汽车怎样拐弯才能使它的行驶路线与第一次拐弯前（行驶在公路a上时）平行？
在研究实际应用中的具体问题时，为了研究方便，我们常常需要把实际问题抽象成一个“数学模型”般的“纯数学题”．对于此题，我们可以假设汽车在下次拐弯时行驶到公路b上，那么上述问题就成为探索直线a，b平行的条件了．
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在这个实际问题中，为保证汽车拐弯后能使它的行驶路线与第一次拐弯前（行驶在公路a上时）平行，则会出现两种情况：
一种情况是两次拐弯前后行驶方向相同．此时，汽车第二次拐弯后的行驶路线如图11中的实线箭头所示，两次拐角成为同位角．由于“同位角相等，两直线平行”，所以汽车应该在交叉道口处向左拐120°角．
另一种情况是两次拐弯前后行驶方向相反．此时，汽车第二次拐弯后的行驶路线如图11中的虚线箭头所示，所以汽车应该在交叉道口处向右拐60°．
下面，我们再来研究一个问题：如图12所示，甲、乙两辆汽车在公路c上同向行驶（图12中的粗线箭头表示甲车行驶路线，细线箭头表示乙车行驶路线），甲车在公路b，c的交叉道口拐到公路b上行驶，乙车在公路a，c的交叉道口拐到公路a上行驶．若公路a∥b，且公路a，c的交叉道口所成锐角为60°，试问分别向哪个方向拐弯，拐了多大的角度？
可以仿照上一道题的思维方式，建立“数学模型”后，再分情况讨论：
当乙车在a，c的交叉道口向左拐120°角时，如果甲车拐弯后与乙车同向，•如图4中实线箭头所示，则两车的拐角形成同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可知，甲车也是向左拐了120°角；如果甲车拐弯后与乙车反向，如图13中虚线箭头所示，则此时的拐角与刚才那种情况介绍的拐角形成邻补角，根据邻补角定义可知，甲车是向右拐了60°角．
当乙车在a，c的交叉道口向右拐60°角时，如果甲车拐弯后与乙车同向，如图5中虚线箭头所示，则两车的拐角形成同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可知，甲车也是向右拐了60°角；如果甲车拐弯后与乙车反向，如图14中实线箭头所示，则此时的拐角与刚才那种情况介绍的拐角形成邻补角，根据邻补角定义可知，甲车是向左扣了120°角．
以上所谈只是我们日常生活中蕴含平行知识的小例子，同学们读完这段短文，除了知道“建立数学模型”解决实际问题外，还应该能体会到一种非常重要的数学思想方法──分类讨论，看一下它在解题中起到什么作用，你还能说出在哪些问题的解决过程中，也用到了分类讨论的数学思想方法，把你的想法与同伴交流一下吧．
数学备课大师 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 目录式免费主题备课平台！二、一道思考题解法的探究
题目：这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分（如图15），其中的横格线互相平行吗？你有多少种判别方法？
解法一：（不使用任何工具，用折叠法）在明亮处对着光线，将抄写纸折叠，使一条横格线的折痕两旁的部分重合，再检查其他横格线在折痕两旁的部分是否重合．若都重合了，则横格线互相平行，否则不平行．
解法二：（用一个三角板）先将三角板如图16所示放置，标出点a，b，c，d，•连接线段bc，再用三角板的直角来检验∠bcd是否为直角，若∠bcd为直角，则l1∥l2，•若∠bcd不是直角，则l1不平行于l2．
解法三：（用直尺和量角器）如图17，任意作直线l与l1，l2都相交，•用量角器分别测量出∠1和∠2的度数．若∠1=∠2，则l1∥l2；若∠1≠∠2，则l1不平行于l2．
解法四：（用直尺和三角板）将三角板和直尺如图18放置，三角板的斜边紧靠直尺，直角边ac与直线l1重合．沿直尺平移三角板，使顶点a与点b重合．若直角边ac与l2重合，则l1∥l2；若直角边ac与l2不重合，则l1不平行于l2．
聪明的同学们，你们还有其他的方法吗？动手试试，会有新发现．
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