高数教案指导记录(四篇)

作为一位兢兢业业的人民教师，常常要写一份优秀的教案，教案是保证教学取得成功、提高教学质量的基本条件。那么我们该如何写一篇较为完美的教案呢？下面是我给大家整理的教案范文，欢迎大家阅读分享借鉴，希望对大家能够有所帮助。

高数教案指导记录篇一

函数研究两个变量的对应关系，而极限则是研究自变量变化时，因变量的变化趋势。

一.极限思想―割圆术：用圆内接正多边形面积逼近圆面积

圆内接正六边形面积记为a1

十二 a2

二十四 a3

62n1 annn

a1,a2,,an,构成一列有次序的数――数列.n→大，ana(圆面积)。不论n如何大，只要n取定, ana.设想n，即内接正多边形边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形的面积无限接近于圆，同时an→确定的数值（即圆的面积）数学上就称为的极限（n）。

极限方法是高数中一个基本方法。

二.数列的极限定义――xnfn，d为正整数。

1.第一种定义:当项数n无限增大时，如果xn无限接近于一个确定的常数a，则称当n无限增大时xn的极限是a.2.“n”def 当0，不论它多么小，总n0,对于nn的一切xn，恒有xna成立，则limxna.如果数列没有极限，就称是发散的。

n *1.是任意给定（任意性）

*2.n与有关，随给定而选定，一般地越小，n越大，n大到何种程度，取决于使xna成立时xn的项数n的取值，定义中仅要求n有关，并不一定要找出最小的自然数n.*3几何意义：nn时，所有的xn都落在a,a内，即数列只有有限个（最多只有n个）在区间之外。*4利用定义不能直接求极限。

三.极限的证明

1例1 证明lim(1)1

n1n1111，n1 证：0，要使11n1n1111取n[1],则当nn时,有1, 1n1n1 ∴lim(1)1

n1n limxna的证明步骤：

n 1)给定0

2)要使xna,解出nn()3)取n，即n.4)当nn时，有xna

5)下结论。n!例2 证明 limn0

nnn!证：0，要使n0＜，nn!nn111只要n0＝

nnnnnn!11取 n[],则当nn=[]时，有n0

nn!∴limn0 nn 例3 n1n0 n1n

证：0，要使只要111,n2

4n1n2n1取n[2]

则当nn时有n1n, 4∴limnn1n0.2n1 例4 设q1，证明等比数列1,q,q,,qn1,的极限是0。

 证：01∵xn0qln取自然对数，解得∴n1，lnqlnn1]，则当nn时有xn0q 取n[1lnq limqnn10。

四.收敛数列的性质

1.极限的唯一性

定理１ 数列不能收敛于两个不同的极限。2.有界性

（1）有界概念：数列xn，若m0，对一切xn有xnm，称xn有界。

（2）收敛数列的有界性

定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。

若xn无界xn发散。xn有界，则不一定收敛。

如xn1n1,即1,1,1,1,,1n1,

∴数列有界是收敛的必要条件，非充分条件。3.收敛数列与子数列的关系

子数列：在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的次序，得到的一个数列为原数列xn的子数列。xn

k定理3 若xn收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

一个发散的数列也可能有收敛的子数列。

小结：本节介绍了数列极限的定义，理解利用定义证明数列的极限，知道收敛数列的有关性质。



高数教案指导记录篇二

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第三次课

教学内容：函数的极限，无穷小，无穷大 教学目的：（1）正确了解函数极限的概念，了解用（xx0)与x（x)语言验证函数极限的步骤。

（2）了解无穷小概念及其与函数极限的关系

（3）了解无穷小与无穷大的关系，函数的左右极限与函数极限的关系 教学重点：函数极限的定义、无穷小的概念 教学难点：函数极限的定义 教学关键：函数极限的定义 教学过程：

一、由数列极限引入函数极限

根据自变量情况的不同，函数的极限分为两类：

（x)（1）自变量趋于无穷大的函数的极限（2）自变量趋于有限值的函数极限（xx0)

二、定义

1、自变量趋于有限值的函数极限（xx0)

定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数a，对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正数，使得当x满足不等式0|xx0|时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)a|，那么常数a就叫做函数f(x)当（xx0)时的极限，记做xx0limf(x)a或f(x)a（当xx0)

说明：

1、对于给定的0，不唯一

2、f(x)在x0有无极限与有无定义无关

（2x3)5 例

1、limx1证明：0,要使|2x35|,|2x35|2|x1|，只要2|x1|,即|x1|例

2、证明极限limx4

x222，0,取2当0|x1|时有|2x35|，得证。

证明：0,要使|x4| 2考虑x2时x2的变化趋势，故不妨设1

只要5|x2|,即|x2〈|

50,取min{1,},当0|x2|时，有|x24|得证

5左极限与右极限

（1）当x从x0的左边趋于x0时，f(x)a，则称a为f(x)当 xx0的左极限，记作xx0limf(x)a或f(x00)a

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2013-4-11 徐屹

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（2）当x从x0的右边趋于x0时，f(x)a，则称a为f(x)当 xx0的右极限，记作xx0limf(x)a或f(x00)a

xx0f(x00)a 结论：limf(x0)af(x00）（x)

2、自变量趋于无穷大时函数的极限x的三种情况：x

（x0）

x

（x0）

x

（|x|)

定义：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数x，使得当 x满足不等式|x|>x时，对应的函数值f(x)都满足不等式

|f(x)a|，那么常数a就叫做函数f(x)当x时的极限，记作

limf(x)a，或f(x)a（当x)

x定义：设函数f(x)当x大于某一正数时有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数x，使得当 x满足不等式x>x时，对应的函数值f(x)都满足不等式

|f(x)a|，那么常数a就叫做函数f(x)当x时的极限，记作

xlimf(x)a，或f(x)a（当x)

说明：类似可以定义函数的左极限

sinx0

xxsinxsinxsinx10|，|0|||证明：0,要使| xxx|x|11只要,即|x|

|x|1sinx0,取x当|x|x时有，|0| 所以得证

x例：利用极限定义证明lim

三、函数极限的性质

1、（唯一性）如果limf(x)存在，则此极限唯一。

xx0

2、（局部有界性）如果limf(x)=a，那么存在常数m>0,和0，使得当0|xx0|时有xx0|f(x)|m

证明：因为limf(x)=a，所以取xx01，则0,当0|xx0|时，有|f(x)a|1|f(x)||f(x)a||a||a|1 记m=|a|1，则得证

3、（局部保号性）如果limf(x)=a而且a>0（或a

xx00|xx0|时，有f(x)>0(或f(x)0)徐屹

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说明：由此定理可以得到更强的结论：

如果limf(x)=a（a0），那么就存在着x0的某一去心邻域u(x0)，当xu(x0)时，就有xx0oo|a| 20f(x)0），而且limf(x)a，推论：如果x0的某一去心邻域内f(x)（或那么a0或（a0）|f(x)|xx0函数极限与数列极限的关系：如果limf(x)存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数xx0列，且满足：xx0(nn)，那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且limf(xn)limf(x)

nxx0证明：设limf(x)=a，则0,0,当0|xx0|时有，|f(x)a|

xx0又因limxnx0,故对0,n,当nn时，有|xnx0|

n由假设，xnx0,。故当nn时，0|xx0|，从而|f(xn)a|，即limf(xn)a

n

四、无穷小与无穷大

1、无穷小：如果函数f(x)当xx0或（x)时的极限为零，那么称函数f(x)为当xx)时的无穷小。 0或（x如x0时：x2,sinx,tgx,1cosx为无穷小 如x时，,e1xx2为无穷小

说明：1任何一个非零常数都不是无穷小量

2一个函数是否为无穷小量，与自变量的变化趋势有关

定理

1、在自变量的同一变化过程xx0或（x)中，函数f(x)具有极限a的充分必要条件是f(x)=a+，其中是无穷小。

2、无穷大

设函数f(x)在x0的某一去心邻域有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数m，总存在正数（或正数x），只要x适合不等式0|xx0|（或|x|x），对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|m，则称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷大。注意：无穷大与很大数的区别

3、无穷小与无穷大的关系

定理：在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

1为无穷小：反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)f(x)0，则1为无穷大 f(x)2例：当x0时，x5为无穷小，1为无穷大。2x5说明：此定理只使用于同一变化过程。

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高数教案指导记录篇三

教案设计

教材：《高等数学》（第三版）上册，第一章函数与极限，第三节函数的极限。

一、计划学时

本小节分为两个部分，对于初学者来说有一定的难度，所以也就分为两个学时进行教学。第一学时：自变量趋于有限值时函数的极限。第二学时：自变量趋于无穷大时函数的极限。（本次教案主要说明第一学时的内容。）

二、教材处理

通过第一节关于函数基本知识的学习，以及高中时已经对函数极限有过一定的学习了解与铺垫，所以就要通过一些基本的示例，来一步步引导学生接触本节的内容，并进一步学习与研究。来扩展同学们的知识面，并易于接受新内容。

三、教学目标 知识和能力目标：

1、通过教学过程培养学生的思维能力、运算能力、以及数学创新意识。让你给同学们积极思考、敢于提出自己的想法。

2、让同学们掌握一些本节教学中所涉及的技能技巧。

3、通过数学知识为载体，增强学生们的逻辑思维能力，提高学习的兴趣和能力。传达出数学的人文价值。

四、教学难点和重点

1、如何让学生较快的接受新的理念与知识，而改掉以前类似的学习中的定势与习惯性思维。

2、让学生们熟练的运用书中所涉及的公式与理解一些重要的定理，从而更好的做题。

五、教学设计

1、总体思路

先通过在黑板上写一些以前学过的相关知识的例题，让同学们到黑板上去做。然后，对题目做一些变形，就成了本小节所学的知识，此时，就要通过一步步的引导，让同学们呢了解步骤的方法技巧。最后，就是先要学生们自己总结本节的内容与规律技巧，之后，再告诉同学们本节所需要重点掌握的知识。

2、教学过程

（1）先让同学们大致看一下本小节内容，对本节内容有一定的了解。（4分钟）

设计说明：通过让同学们进行自主学习，对本小节内容有大志的了解，以便于学生更易于接受新知识。

（2）通过小例子让大家熟悉并初步认识一下极限的概念。如：问题：当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值。解析：问题可转化成|f(x)-1|最小取值，因为|f(x)-1|可以无限变小，也就是无限趋近于0，所以当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值就是0.（5分钟）

设计说明：通过引导学生们的思维，带到新的内容，培养学生们的逻辑思维能力以及发撒思维能力。（3）由上面例子，先让同学们自己总结规律，给出定义：设函数f(x)在某个去心邻域内有定义，如果存在常数a，使得对于任意给定的正数m，总存在正数k,只要点x适合不等式0

设计说明：通过对照上面例题再给出定义，就更加便于理解与接受，同时增强同学们的概括能力与创新意识。

（4）根据所给的定义，举例子说明并让同学们熟悉做题的步骤。如：证明：当x趋向于2时，函数f(x)=4x-7趋向于1.（步骤略）之后找一些同学到黑板上做题。如：证明当x趋向于x时，函数f(x)=x趋向于x.(步骤略)等一些例题。（13分钟）

设计说明：通过立体让同学们更加熟悉新的知识与步骤，掌握本节的知识技巧技能。

（5）给出一个推论：函数存在极限的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。并给出例子：f(x)=x-1(当x0).证明：当x趋向于0时，f(x)的极限不存在。（证明略）（9分钟）

设计说明：既符合课本的教学要求又扩大学生们的知识面。（6）对本节内容进行总结，提醒同学们本节的重点与难点，以及易错点，并布置相对应的课后习题（4分钟）。

设计说明：使同学们透过练习，一个或多个知识点对应一道练习题，让本节课所学到的理论知识转化为实际计算能力。

（7）形成性总结。课后通过作业的批改，从而发现学生中普遍存在的问题以及主要犯的错误，进行反思与总结，以便在下节课中再次强调一下易错的点以及需要特别注意的问题。

设计说明：目的在于在反馈信息中发现问题，而在后续教学中及时解决，以保证教学效果最优化。

六、本节课的设计反思

本节课目的在于锻炼学生们的计算能力以及逻辑思维能力，有利于培养学生积极思考、树立创新意识。符合课程标准的要求。

高数教案指导记录篇四

第7

5、76课时：

【教学目标与要求】

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念； 2．熟练掌握级数的基本性质及收敛的必要条件； 2．掌握几何级数收敛与发散的条件。

【教学重点】

1、常数项级数收敛、发散的概念及几何级数；

2、级数的基本性质及收敛的必要条件。

【教学难点】

级数的基本性质及收敛的必要条件。

§12 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

1．常数项级数的定义

给定一个数列

u1 u2 u3    un    则由这数列构成的表达式u1  u2  u3     un    叫做常数项)无穷级数 简称常数项)级数 记为un 即

n1

n1unu1u2u3    un    

其中第n项u n 叫做级数的一般项

2．级数的部分和 作级数un的前n项和snuiu1u2u3    un

n1i1n称为级数un的部分和

n1

3． 级数敛散性定义 如果级数un的部分和数列{sn}有极限s 即limsns

n1n则称无穷级数un收敛 这时极限s叫做这级数的和

n1并写成sunu1u2u3    un    

n1如果{sn}没有极限 则称无穷级数un发散

n1

余项 当级数un收敛时 其部分和s n是级数un的和s的近似值 它们之间的差值

n1n1

rnssnun1un2    叫做级数un的余项

n1

例1 讨论等比级数(几何级数)

n0aqnaaqaq2    aqn    的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比

解 如果q1 则部分和

snaaqaq    aq2n1aaqnaqna

1q1q1qaa

当|q|1时 因为limsn 所以此时级数aqn收敛 其和为

1q1qnn0

当|q|>1时 因为limsn 所以此时级数aqn发散

nn0

如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数aqn发散

n0

当q1时 级数aqn成为

n0

aaaa   

当|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零

所以sn的极限不存在 从而这时级数aqn也发散

n0a,|q|1综上所述，级数aqn1q

n0|q|1提醒学生一定要熟练记住上述结论！

例2 证明级数

123  n   是发散的

证 此级数的部分和为

sn123    nnn(n1)

2显然 limsn 因此所给级数是发散的

例3 判别无穷级数的收敛性

提示 un111    1   

122334n(n1)111

n(n1)nn

1二、收敛级数的基本性质

性质1 如果级数un收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也n1n1收敛 且其和为ks

性质2 如果级数un收敛于和s 则级数kun也收敛 且其和为ks

n1n1

性质3 如果uns 则kunks

n1n1

性质4 如果级数un、vn分别收敛于和s、 则级数(unvn)也收敛 且其和为n1n1n1s

性质5 如果uns、vn 则(unvn)s

n1n1n1

性质6

在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

比如 级数1111        是收敛的

122334n(n1)级数100001111        也是收敛的

122334n(n1)级数111        也是收敛的

3445n(n1)

性质7 如果级数un收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和n1不变

应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛

例如 级数

（11)+（11)+  收敛于零 但级数1111  却是发散的

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散

级数收敛的必要条件

性质8 如果un收敛 则它的一般项un 趋于零 即limun0

n1n0

应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例

4证明调和级数

n1n123    n    是发散的 111

1 调和级数的敛散性也必须要记熟！

证： 假若级数1收敛且其和为s s是它的部分和

nnn1nn显然有limsns及lims2ns 于是lim(s2nsn)0

n

但另一方面

s2nsn11    111    11

n1n22n2n2n2n21必定发散

n1n故lim(s2nsn)0 矛盾 这矛盾说明级数n小结

1.常数项级数及其敛散性的概念； 2.常数项级数的性质；

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意常数项级数的概念以及重要性质，要结合实例，反复讲解，尤其要熟练的记住等比级数与调和级数的敛散性。

师生活动设计p255:3（2）4（1）（2）（3）作业 p255: 3(3)；4(4),(5)

第7

7、7

8、7

9、80、8

1、82课时：

【教学目标与要求】

1．熟练掌握正项级数的审敛法（比较判别法、比值判别法、根值判别法和极限判别法），熟练掌握p级数收敛与发散的条件。2．熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法。3．理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，记住绝对收敛与条件收敛的关系。

【教学重点】

1．正项级数的审敛法（比较判别法、比值判别法、根值判别法和极限判别法），熟练掌握p级数收敛与发散的条件；

2．交错级数的莱布尼茨判别法；3.任意项级数绝对收敛与条件收敛 【教学难点】

1、比较判别法的极限形式；

2、任意项级数敛散性的判别。