2025年高中数学必修二教学设计(5篇)

柱体(棱柱和圆柱)

s表面积＝s侧＋2s底

v＝________

锥体(棱锥和圆锥)

s表面积＝s侧＋s底

v＝________

台体(棱台和圆台)

s表面积＝s侧＋s上＋s下

v＝_____________________

球

s＝________

v＝πr3

一、选择题

1.已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为()

a.1:2:3 b.1:4:9 c.2:3:4 d.1:8:27

2.有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如图所示，则该几何体的表面积为 ( )

a. b. c. d.

3.棱长都是 的三棱锥的表面积为( )

a. b. c. d. 4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 ，且它的 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )

a. b. c. d.都不对

5.三角形abc中，ab= ，bc=4， ，现将三角形abc绕bc旋转一周，所得简单组合体的体积为( )

a. b. c.12 d.

6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

a.32 b. c.48 d.

7.设正方体的棱长为,则它的外接球的表面积为()

a. b.2π c.4π d.

8.已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球的表面积为 ( )

. . . .

9.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 ，且它的 个顶点都在

同一球面上，则这个球的表面积是( )

a. b. c. d. 都不对

10.正方体的内切球和外接球的半径之比为( )

a. b. c. d.

二、填空题

1. 中， ，将三角形绕直角边 旋转一周所成

的几何体的体积为____________。

2. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 ，则它的体积为___________.

3.正方体 中， 是上底面 中心，若正方体的棱长为 ，

则三棱锥 的体积为 .

三、解答题

1.将圆心角为 ，面积为 的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.

2.已知圆台的上下底面半径分别是 ,且侧面面积等于两底面面积之和,

求该圆台的母线长.

3.(如图)在底半径为 ，母线长为 的圆锥中内接一个高

为 的圆柱，求圆柱的表面积

4.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧

视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,计算这个

几何体的表面积. key：11

5.已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.

求该几何体的体积v; (2)求该几何体的侧面积s

一、教材分析

在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是：画出空间几何体的三视图.

比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视.

画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”.

教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图;接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点.

三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图  来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会三视  图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流.

值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.

二、教学目标

1.知识与技能

(1)掌握画三视图的基本技能

(2)丰富学生的空间想象力

2.过程与方法

主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

3.情感、态度与价值观

(1)提高学生空间想象力

(2)体会三视图的作用

三、重点难点

教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象出原实际图的结构特征.

教学难点：识别三视图所表示的几何体.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

(一)导入新课

思路1.能否熟练画出上节所学习的几何体?工程师如何制作工程设计图纸?

我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形;直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图.

教师指出课题：投影和三视图.

思路2.

“横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图.在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、侧视图、俯视图)，你能画出空间几何体的三视图吗?

教师点出课题：投影和三视图.

(二)推进新课、新知探究、提出问题

①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得到的?

图1

②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的?

③请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同?

图2

④图2(2)(3)都是平行投影，它们有什么区别?

⑤观察图3，与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小有什么区别?

图3

活动：①教师介绍中国的民间艺术皮影戏，学生观察图片.

②从投影的形成过程来定义.

③从投影方向上来区别这三种投影.

④根据投影线与投影面是否垂直来区别.

⑤观察图3并归纳总结它们各自的特点.

讨论结果：①这种现象我们把它称为是投影.

②由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影幕.

③图2(1)的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影;图2(2)和(3)的投影线平行，我们把在一束平行光  线照射下形成投影称为平行投影.

④图2(2)中，投影线正对着投影面，这种平行投影称为正投影;图2(3)中，投影线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影.

⑤在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图形;在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形.以后我们用正投影的方法来画出空间几何体的三视图和  直观图.

知识归纳：投影的分类如图4所示.

图4

提出问题

①在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视图包含哪些部分?

②正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的?

③一般地，怎样排列三视图?

④正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图，它们都是平面图形.观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗?

讨论结果：①三视图包含正视图、侧视图和俯视图.

②光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图(又称主视图);光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的侧视图(又称左视图);光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫该几何体的俯视图.

③三视图的位置关系：一般地，侧视图在正视图的右边;俯视图在正视图的下边.如图5所示.

图5

④投影规律：

(1)正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.

(2)一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样，即正、俯视图——长对正;主、侧视图——高平齐;俯、侧视图——宽相等.

画组合体的三视图时要注意的问题：

(1)要确定好主视、侧视、俯视的方向，同一物体三视的方向不同，所画的三视图可能不同.

(2)判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置.

(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出.

( 4)要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即正、俯视图长对正;正、侧视图高平齐;俯、侧视图宽相等，前后对应.

由三视图还原为实物图时要注意的问题：

我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要由三视图还原成实物图，这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状，主要  通过主、俯、左视图的轮廓线(或补充后的轮廓线)还原成常见的几何体，还原实物图时，要先从三视图中初步判断简单组合体的组成，然后利用轮廓线(特别要注意虚线)逐步作出实物图.

(三)应用示例

思路1

例1 画出圆柱和圆锥的三视图.

活动：学生回顾正投影和三视图的画法，教师引导学生自己完成.

解：图6(1)是圆柱的三视图，图6(2)是圆锥的三视图.

(1) (2)

图6

点评：本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力.有关三视图的题目往往依赖于丰富的空间想象能力.要做到边想着几何体的实物图边画着三视图，做到想图(几何体的实物图)和画图(三视图)相结合.

变式训练

说出下列图7中两个三视图分别表示的几何体.

(1) (2)

图7

答案：图7(1)是正六棱锥; 图7(2)是两个相同的圆台组成的组合体.

例2 试画出图8所示的矿泉水瓶的三视图.

活动：引导学生认识这种容器的结构特征.矿泉水瓶是我们熟悉的一种容器，这种容器是简单的组合体，其主要结构特征是从上往下分别是圆柱、圆台和圆柱.

图8 图9

解：三视图如图9所示.

点评：本题主要考查简单组合体的三视图.对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图.

变式训练

画出图10所示的几何体的三视图.

图10 图11

答案：三视图 如图11所示.

思路2

例1  (2007安徽淮南高三第一次模拟，文16)如图12甲所示，在正方体abcd—a1b1c1d1中，e、f分别是aa1、c1d1的中点，g是正方形bcc1b1的中心，则四边形agfe在该正方体的各个面上的投影可能是图12乙中的____________.

甲 乙

图12

活动：要画出四边形agfe在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点a、g、f、e在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的.

分析：在面abcd和面a1b1c1d1上的投影是图12乙(1);在面add1a1和面bcc1b1上的投影是图12乙(2);在面abb1a1和面dcc1d1上的投影是图12乙(3).

答案：(1)(2)(3)

点评：本题主要考查平行投影和空间想象能力.画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这  些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完  成.

变式训练

如图13(1)所示，e、f分别为正方体面add′a′、面bcc′b′的中心，则四边形bfd′e在该正方体的各个面上的投影可能是图13(2)的___________.

(1) (2)

图13

分析：四边形bfd′e在正方体abcd—a′b′c′d′的面add′a′、面bcc′b′上的投影是c;在面dcc′d′上的投影是b;同理，在面abb′a′、面abcd、面a′b′c′d′上的投影也全是b.

答案：b c

例2 (2007广东惠州第二次调研，文2)如图14所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( )

甲 乙 丙

图14

①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱

a.④③② b.②①③ c.①②③ d.③②④

分析：由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱;由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥;由于丙的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是三角形，则丙是圆锥.

答案：a

点评：本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征.根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体.通常是先根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.

变式训练

1.图15是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状.

图15 图16

分析：由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体.

答案：上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图16所示.

2.(2007山东高考，理3)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )

图17

a.①② b.①③ c.①④ d.②④

分析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除a、b、c.

答案：d

点评：虽然三视图的画法比较繁琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此是新课标高考的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题.

(四)知能训练

1.下列各项不属于三视图的是( )

a.正视图 b.侧视图 c.后视图 d.俯视图

分析：根据三视图的规定，后视图不属于三视图.

答案：c

2.两条相交直线的平行投影是( )

a.两条相交直线 b.一条直线

c.两条平行直线 d.两条相交直线或一条直线

图18

分析：借助于长方体模型来判断，如图18所示，在长方体abcd—a1b1c1d1中，一束平行光线从正上方向下照射.则相交直线cd1和dc1在面abcd上的平行投影是同一条直线cd，相交直线cd1和bd1在面abcd上的平行投影是两条相交直线cd和bd.

答案：d

3.甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，如图19所示.甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“  6”，丙说他看到的是“ 9”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是( )

图19

a.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边

b.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙

c.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁

d.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边

分析：由甲、乙、丙、丁四人的叙述，可以知道这四人的位置如图20所示，由此可得甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边.

图20

答案：d

4.(2007广东汕头模拟，文3)如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为( )

a.棱锥 b.棱柱 c.圆锥 d.圆柱

分析：由于俯视图是一个圆及其圆心，则该几何体是旋转体，又因正视图与侧视图均为全等的等边三角形，则该几何体是圆锥.

答案：c

5.(2007山东青岛高三期末统考，文5)某几何体的三视图如图21所示，那么这个几何体是( )

图21

a.三棱锥 b.四棱锥 c.四棱台 d.三棱台

分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥.

答案：b

6.(2007山东济宁期末统考，文5)用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图22所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是(  )

图22

a.8 b.7 c.6 d.5

分析：由正视图和侧视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下层有5个小正方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体.

答案：c

7.画出图23所示正四棱锥的三视图.

图23

分析：正四棱锥的正视图与侧视图均为等腰三角形，俯视图为正方形，对角线体现正四棱锥的四条侧棱.

答案：正四棱锥的三视图如图24.

图24

(五)拓展提升

问题：用数个小正方体组成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图25所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数.

(1)你能确定 哪些字母表示的数?

(2)该几何体可能有多少种不同的形状?

图25

分析：解决本题的关键在于观察正视图、俯视图，利用三视图规则中的“在三视图中，每个视图都反映物体两个方向的尺寸.正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸”.又“正视图与俯视图长对正,正视图与侧视图高平齐,俯视图与侧视图宽相等”,所以，我们可以得到a=3,b=1,c=1,d,e,f中的最大值为2.

解：(1)面对数个小立方体组成的几何体，根据正视图与俯视图的观察我们可以得出下列结论：

①a=3,b=1,c=1;

②d,e,f中的最大值为2.

所以上述字母中我们可以确定的是a=3,b=1,c=1.

(2)当d,e,f中有一个是2时，有3种不同的形状;

当d,e,f有两个是2时，有3种不同的形状;

当d,e,f都是2时，有一种形状.

所以 该几何体可能有7种不同的形状.

(六)课堂小结

本节课学习了：

1.中心投影和平行投影.

2.简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律.

3.由三视图判断原几何体的结构特征.

(七)作业

习题1.2 a 组 第1、2题.

1教学目标

1.知道柱体、锥体、台体侧面展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表面积的求法.

2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并知道柱体、锥体和台体表面积之间的关系.

2学情分析

通过学习空间几何体的结构特征，空间几何体的三视图和直观图，了解了空间几何体和平面图形之间的关系，从中反映出一个思想方法，即平面图形和空间几何体的互化，尤其是空间几何问题向平面问题的转化。该部分内容中有些是学生已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想——化归的思想，总结出一般的求解方法，在此基础上通过类比获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类比等思想方法的应用。

3重点难点

重点：知道柱体、锥体、台体侧面展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表面积公式。

难点：会求柱体、锥体和台体的表面积，并知道柱体、锥体和台体表面积之间的关系.

4教学过程 4.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】第1课时柱体、锥体、台体的表面积

(一)、基础自测：

1.棱长为a的正方体表面积为__________.

2.长、宽、高分别为a、b、c的长方体，其表面积为___________________.

3.长方体、正方体的侧面展开图为__________.

4.圆柱的侧面展开图为__________.

5.圆锥的侧面展开图为__________.

(二).尝试学习

1.柱体的表面积

(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是____________，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的__________，如图①所示;圆柱的侧面展开图是_______，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示.

(2)面积：柱体的表面积s表=s侧+2s底.特别地，圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积s侧=__________，表面积s表=__________.

2.锥体的表面积

(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个__________拼成的，则侧面积为各个三角形面积的_____，如图①所示;圆锥的侧面展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧长等于圆锥的__________，如图②所示.

(2)面积：锥体的表面积s表=s侧+s底.特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积s侧=__________，表面积s表=__________.

3.台体的表面积

(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个__________拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的______，如图①所示;圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示.

(2)面积：台体的表面积s表=s侧+s上底+s下底.特别地，圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，则侧面积s侧=____________，表面积s表=________________________.

(三).互动课堂

例1：在三棱柱abc-a1b1c1中，∠bac=90°，ab=ac=a，∠aa1b1=∠aa1c1=60°，∠bb1c1=90°，侧棱长为b，则其侧面积为()

a. c.(+)ab

例2:(1)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是()

a.2π b. c.6π d.9π

(2)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥s-abcd，如图，求它的侧面积、表面积.

例3：一个四棱台的上、下底面都为正方形，且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分别为1,2，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为()

a. b.2 c. d.

(四).巩固练习：

1.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________.

2.已知一个四棱锥底面为正方形且顶点在底面正方形射影为底面正方形的中心(正四棱锥)，底面正方形的边长为4  cm，高与斜高的夹角为30°，如图所示，求正四棱锥的侧面积________和表面积________(单位：cm2).

3.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为()

a.81π b.100π c.14π d.169π

(五)、 课堂小结：

求柱体表面积的方法

(1)直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积;表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和.

(2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法;二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解.

(3)求圆柱的侧面积只需利用公式即可求解.

(4)求棱锥侧面积的一般方法：定义法.

(5)求圆锥侧面积的一般方法：公式法：s侧=πrl.

(6)求棱台侧面积的一般方法：定义法.

(7)求圆台侧面积的一般方法：公式法s侧=2(r+r′)l.

五、当堂检测

1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()

a.32 b.16+16

c.48 d.16+32 网]

2.(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

a.180 b.200 c.220 d.240

3.(2013广东)若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于()

a.6 b.6π c.3π d.6π

六、作业：(1)课时闯关(今晚交)

七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题?

1.3空间几何体的表面积与体积

课时设计 课堂实录

1.3空间几何体的表面积与体积

1第一学时 教学活动 活动1【导入】第1课时柱体、锥体、台体的表面积

(一)、基础自测：

1.棱长为a的正方体表面积为__________.

2.长、宽、高分别为a、b、c的长方体，其表面积为___________________.

3.长方体、正方体的侧面展开图为__________.

4.圆柱的侧面展开图为__________.

5.圆锥的侧面展开图为__________.

(二).尝试学习

1.柱体的表面积

(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是____________，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的__________，如图①所示;圆柱的侧面展开图是_______，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示.

(2)面积：柱体的表面积s表=s侧+2s底.特别地，圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积s侧=__________，表面积s表=__________.

2.锥体的表面积

(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个__________拼成的，则侧面积为各个三角形面积的_____，如图①所示;圆锥的侧面展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧长等于圆锥的__________，如图②所示.

(2)面积：锥体的表面积s表=s侧+s底.特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积s侧=__________，表面积s表=__________.

3.台体的表面积

(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个__________拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的______，如图①所示;圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示.

(2)面积：台体的表面积s表=s侧+s上底+s下底.特别地，圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，则侧面积s侧=____________，表面积s表=________________________.

(三).互动课堂

例1：在三棱柱abc-a1b1c1中，∠bac=90°，ab=ac=a，∠aa1b1=∠aa1c1=60°，∠bb1c1=90°，侧棱长为b，则其侧面积为()

a. c.(+)ab

例2:(1)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是()

a.2π b. c.6π d.9π

(2)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥s-abcd，如图，求它的侧面积、表面积.

例3：一个四棱台的上、下底面都为正方形，且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分别为1,2，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为()

a. b.2 c. d.

(四).巩固练习：

1.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________.

2.已知一个四棱锥底面为正方形且顶点在底面正方形射影为底面正方形的中心(正四棱锥)，底面正方形的边长为4  cm，高与斜高的夹角为30°，如图所示，求正四棱锥的侧面积________和表面积________(单位：cm2).

3.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为()

a.81π b.100π c.14π d.169π

(五)、 课堂小结：

求柱体表面积的方法

(1)直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积;表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和.

(2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法;二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解.

(3)求圆柱的侧面积只需利用公式即可求解.

(4)求棱锥侧面积的一般方法：定义法.

(5)求圆锥侧面积的一般方法：公式法：s侧=πrl.

(6)求棱台侧面积的一般方法：定义法.

(7)求圆台侧面积的一般方法：公式法s侧=2(r+r′)l.

五、当堂检测

1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()

a.32 b.16+16

c.48 d.16+32 网]

2.(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

a.180 b.200 c.220 d.240

3.(2013广东)若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于()

a.6 b.6π c.3π d.6π

六、作业：(1)课时闯关(今晚交)

七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题?

课题名称

《2.1空间点、直线与平面之间的位置关系》

科 目

高中数学

教学时间

1课时

学习者分析

通过第一章《空间几何体》的学习，学生对于立体几何已经有了初步的认识，能够识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球，并理解它们的几何特征。但是这种理解还只是建立在观察、感知的基础上的，对于原理学生是不明确的，所以学生此时有很强的求知欲，急于想搞清楚为什么;同时学生经过高中一年的学习，已经具备了一定的逻辑推理能力，只是缺乏训练，不够严密，不够清晰;有一定的自主探究和合作学习的能力，但有待提高，并愿意动手并参与分组讨论。

教学目标

一、知识与技能

1.理解空间点、直线、平面的概念，知道空间点、直线、平面之间存在什么样的关系;

2.记忆三公理三推论，能够用简单的语言概括三公理三推论，会用图形表示三公理三推论，并将其转化成数学符号语言;

3. 明确三公理三推论的功能，掌握使用三公理三推论解决立体几何问题的方法。

二、过程与方法

1.通过自己动手制作模型，直观地感知空间点、直线与平面之间的位置关系，以及三公理三推论;

2. 通过思考、讨论，发现三公理三推论的条件和结论;

3.通过例题的训练，进一步理解三公理三推论，明确三公理三推论的功能。

三、情感态度与价值观

1.通过操作、观察、讨论培养对立体几何的兴趣，建立合作的意识;

2.感受立体几何逻辑体系的严密性，培养学生细心的学习品质。

教学重点、难点

1.理解三公理三推论的概念及其内涵;

2.使用三公理三推论解决立体几何问题。

教学资源

(1)每位同学准备两张硬纸板，其中一张中间用小刀划条缝，铅笔三根;

(2)教师自制的多媒体课件。

《2.1空间点、直线与平面之间的位置关系》教学过程的描述

教学活动1

一、导入新课

1.  回忆构成平面图形的基本元素：点、直线。①两者都是最原始的概念，点没有大小、面积、厚度，直线是向两侧无限延伸的;②点用大写英文字母表示，直线用小写英文字母表示;③  如果将点看作元素，则直线是一系列点构成的集合，所以点在直线上记作，点不在直线上记作;

2. 提出问题：构成空间几何体有哪些基本元素?(大屏幕出示棱柱、棱锥、棱台)学生很快得到答案：点、直线、平面。

3. 引入课题：什么是平面?点、直线、平面之间有什么样的位置关系?平面有什么性质?这就是我们这堂课要研究的问题。

教学活动2

二、观察操作，合作探究

1. 理解平面的概念

平面也是一个最原始的概念，是向四周无限延伸的，没有边界。一般用希腊字母、、，…表示平面，或者记为平面abc，平面abcd等等。

2. 明确空间点、直线、平面之间存在的位置关系

①点与直线;②点与平面;③直线与平面。

3. 探究平面的性质

⑴ 公理一

① 学生操作，研究如何将铅笔放置到硬纸板内

问题一：铅笔与硬纸板只有一个公共点可以么?

问题二：要将铅笔放置到硬纸板内至少需要几个公共点?

学生通过操作，体会到要将铅笔放置到硬纸板内，只需将铅笔上两点放置到硬纸板内。

② 抽象出公理一

问题一：如何用图形表示公理一?

问题二：要求学生将公理一表示成数学符号的形式;

问题三：公理一有什么功能?

③ 动画演示公理一

⑵ 公理二

① 学生操作，研究过空间中三点能确定几个平面

问题一：若三点共线，能确定几个平面?

问题二：要确定一个平面，需要三点满足什么条件?

学生通过操作，体会公理二所表达的含义。

② 抽象出公理二

问题一：如何用图形表示公理二?

问题二：要求学生将公理二表示成数学符号的形式;

问题三：还能根据什么条件确定一个平面?引出三推论。

问题四：公理二及三推论有什么功能?

③ 动画演示公理二及三推论

⑶ 公理三

① 学生操作，展示两个平面只有一个公共点

问题一：两个平面真的只有一个公共点么?

问题二：这个公共点与这条公共直线有什么关系?

学生通过操作，体会公理三所表达的含义。

② 抽象出公理三

问题一：如何用图形表示公理三?

问题二：要求学生将公理三表示成数学符号的形式;

问题三：公理三有什么功能?

③ 动画演示公理三

教学活动3

三、归纳总结，加深理解

⒈ 平面具有无限延展性;

⒉ 公理一有什么功能?条件是什么?

⒊ 公理二有什么功能?条件是什么?

⒋ 公理三有什么功能?条件是什么?

教学活动4

四、布置作业，课外研讨

⒈ 课后练习p43：1、2、3、4;

⒉ 平面几何中证明平行四边形有哪些定理?这些定理在空间中能否成立?说明理由。

共1课时

1教学目标

一、知识与技能：1、理解并掌握直线与平面平行的性质定理;

2、引导学生探究线面平行的问题可以转化为线线平行的问题，从而能够通过化归解决有关问题，进一步体会数学转化的思想。

二、过程与方法：通过直观观察、猜想研究线面平行的性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力。

三、情感、态度与价值观：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学转化过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

2重点难点

教学重点:线与面平行的性质定理及其应用。

教学难点:线与面的性质定理的应用。

3教学过程 3.1 第一学时 教学活动 活动1【导入】问题引入

一、问题引入

木工小刘在处理如图所示的一块木料，已知木料的棱bc∥平面a′c′.现在小刘要经过平面a′c′内一点p和棱bc将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗?

预设：(1)过p作一条直线平行于b′c′;

(2)过p作一条直线平行与bc。

(问题引入的目的在于激起学生对于这堂课的兴趣，带着问题学习目的性更强，效果也会更好。)

活动2【讲授】新课讲授

二、知识回顾

判定一条直线与一个平面平行的方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、判定定理法：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。(线线平行→线面平行)

三、知识探究(一)

思考一：如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系?

答：平行或异面。

思考2：若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?

答：无数条;平行。

思考3：如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面β与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么?

答：平行;因为a∥α，所以a与α没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面β内，所以a与b平行。

思考4：综上分析，在直线a与平面α平行的条件下我们可以得到什么结论?

答：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

(四个思考题的目的在于引导学生探究直线与平面平行的性质定理。)

四、知识探究(二)

定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

定理可简述为：线面平行，则线线平行。

直线与平面平行的性质定理的符号表示：

(由图形语言到文字语言，再到符号语言，一步一步深化学生对该定理的理解)

活动3【练习】课堂练习

五、应用示例

练习1：判断下列命题是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。

(1)如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面。 ( × )

(2)如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行。 ( × )

(3)如果直线a，b和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b。 ( × )

例3 如图所示的一块木料中，棱bc平行于面a′c′.

(1)要经过面a′c′ 内一点p和棱bc将木料锯开，应怎样画线?

(2)所画的线与平面ac是什么位置关系?

分析：经过木料表明a′c′内的一点p和棱bc将木料锯开，实际上是经过bc及bc外一点p做截面，也就是找出平面与平面的交线。我们可以由直线与平面平行的性质定理和公理2、公理4作出。

练习2：如图，在空间四边形abcd中，e，f，g，h分别是ab，bc，cd，da上的点，eh∥fg，求证：fg∥bd.

活动4【讲授】课堂小结

六、课堂小结

1、直线与平面平行的判定定理

(1)定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

(2)线线平行→线面平行

2、直线与平面平行的性质定理

(1)定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

(2)线面平行→线线平行

(课堂总结从文字语言、图形语言、符号语言三方面强调总结两个定理。)

活动5【作业】课后作业

p61练习，习题2.2a组：1，2. (做在书上)

p62习题2.2a组：5，6.

2.2直线、平面平行的判定及其性质

课时设计 课堂实录

2.2直线、平面平行的判定及其性质

1第一学时 教学活动 活动1【导入】问题引入

一、问题引入

木工小刘在处理如图所示的一块木料，已知木料的棱bc∥平面a′c′.现在小刘要经过平面a′c′内一点p和棱bc将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗?

预设：(1)过p作一条直线平行于b′c′;

(2)过p作一条直线平行与bc。

(问题引入的目的在于激起学生对于这堂课的兴趣，带着问题学习目的性更强，效果也会更好。)

活动2【讲授】新课讲授

二、知识回顾

判定一条直线与一个平面平行的方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、判定定理法：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。(线线平行→线面平行)

三、知识探究(一)

思考一：如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系?

答：平行或异面。

思考2：若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?

答：无数条;平行。

思考3：如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面β与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么?

答：平行;因为a∥α，所以a与α没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面β内，所以a与b平行。

思考4：综上分析，在直线a与平面α平行的条件下我们可以得到什么结论?

答：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

(四个思考题的目的在于引导学生探究直线与平面平行的性质定理。)

四、知识探究(二)

定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

定理可简述为：线面平行，则线线平行。

直线与平面平行的性质定理的符号表示：

(由图形语言到文字语言，再到符号语言，一步一步深化学生对该定理的理解)

活动3【练习】课堂练习

五、应用示例

练习1：判断下列命题是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。

(1)如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面。 ( × )

(2)如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行。 ( × )

(3)如果直线a，b和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b。 ( × )

例3 如图所示的一块木料中，棱bc平行于面a′c′.

(1)要经过面a′c′ 内一点p和棱bc将木料锯开，应怎样画线?

(2)所画的线与平面ac是什么位置关系?

分析：经过木料表明a′c′内的一点p和棱bc将木料锯开，实际上是经过bc及bc外一点p做截面，也就是找出平面与平面的交线。我们可以由直线与平面平行的性质定理和公理2、公理4作出。

练习2：如图，在空间四边形abcd中，e，f，g，h分别是ab，bc，cd，da上的点，eh∥fg，求证：fg∥bd.

活动4【讲授】课堂小结

六、课堂小结

1、直线与平面平行的判定定理

(1)定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

(2)线线平行→线面平行

2、直线与平面平行的性质定理

(1)定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

(2)线面平行→线线平行

(课堂总结从文字语言、图形语言、符号语言三方面强调总结两个定理。)

活动5【作业】课后作业

p61练习，习题2.2a组：1，2. (做在书上)

p62习题2.2a组：5，6.

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一、知识点归纳

(一)空间几何体的结构特征

(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。

(2)柱，锥，台，球的结构特征

1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.

2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.

3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.

(二)空间几何体的三视图与直观图

1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等

3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系  中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变，平行于y轴(或在y轴上)的线段长度减半。

(三)空间几何体的表面积与体积

1、空间几何体的表面积

①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

②圆柱的表面积

③圆锥的表面积 ④圆台的表面积

⑤球的表面积 ⑥扇形的面积公式 (其中 表示弧长， 表示半径)

2、空间几何体的体积

①柱体的体积

②锥体的体积

③台体的体积

④球体的体积

二、练习与巩固

(1)空间几何体的结构特征及其三视图

1.下列对棱柱说法正确的是( )

a.只有两个面互相平行 b.所有的棱都相等

c.所有的面都是平行四边形 d.两底面平行，且各侧棱也平行

2.一个等腰三角形绕它的底边所在的直线旋转360。形成的曲面所围成的几何体是( )

a.球体 b.圆柱 c.圆台 d.两个共底面的圆锥组成的组合体

3.下列命题正确的是( )

a.平行与圆锥的一条母线的截面是等腰三角形

b. 平行与圆台的一条母线的截面是等腰梯形

c. 过圆锥母线及顶点的截面是等腰三角形

d. 过圆台的一个底面中心的截面是等腰梯形

4.棱台不具备的特点是( )

a.两底面相似 b. 侧面都是梯形 c. 侧棱都相等 d. 侧棱延长后交于一点

5.以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是( )

a.球体 b.圆柱 c.圆锥 d.圆柱、圆锥及球体的组合体

6.将装有水的长方体槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 ( )

a.棱柱 b.棱台 c.棱柱与棱台的组合体 d.不能确定

7.下列命题正确的是 ( )

a.矩形的平行投影一定是矩形 b.梯形的平行投影一定是梯形

c.两条相交直线的平行投影可能平行

d.一条线段中点的平行投影仍是投影线段的中点

8.将等腰三角形绕它的底边上的高旋转一周, 形成的几何体一定是( )

a.圆锥 b.圆柱 c.圆台 d.上均不正确

9.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是( )

a.圆锥 b.圆柱 c. 球体 d. 以上都可能

10.下列图形中，不是三棱柱的展开图的是()

11.三视图均相同的几何体有()

a.球 b.正方体 c.正四面体 d.以上都对

12.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()

a.①② b.①③ c.①④ d.②④

13.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )

a. 棱台 b. 棱锥 c. 棱柱 d. 都不对

(2)空间几何体的表面积和体积

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式.

2.空间几何体的表面积和体积公式.