高一数学立体几何知识归纳(四篇)

无论是身处学校还是步入社会，大家都尝试过写作吧，借助写作也可以提高我们的语言组织能力。写范文的时候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？下面是小编为大家收集的优秀范文，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

高一数学立体几何知识归纳篇一

1.若ar，複數(2a23a2)(a23a2)i表示純虛數，則a的條件是 ________________。

2.已知z1(xy4)(x2xy2y)i,z2(2xy2)(xyy)i,(x,yr)，(1)若z1與z2都是純虛數，求x、y的值(2)若z1與z2對應的點關於實軸對稱 求x、y的值。

3.設a,b為共軛複數且(ab)23abi412i,求a,b的值。4.已知f(z)2zz3,f(zi)63i,求z。

5.若z(log23,log32),則z在複平面所對應的點應在第______象限。

2

6.設,都是虛數,且它們互為共軛複數。已知是實數,求的值。



7.求複數的輻角主值:(1)3(cos

4413

isin)(2)(1i)(cosisin)(3)i(4)3322

6i(5)12(6)22i(7)cos



isin



6(22i)43i(4)(1i)6 2020

8.計算:(1)(1i)(1i)(2)(3)

2(13i)512i

1i

(5)(6)

22(cosisin)66

(1i)

2001



(7)

i



13

i22

55

cosisin1212

9.若z1i,則zz2z5____________。

10.計算﹕i2i23i3100i100=________________。11.已知arg(2i),arg(3i),求。

12.在△abc中，cosaisinacosbisinbcoscisinc

13.試求(1i)(cosisin)()的輻角主值。

23

14.若複數z(ai)2的輻角是,試求實數a的值。

25i

15.若複數za3i的輻角主值與的輻角主值相同，求實數a的值。

16.求複數44i的四次方根;i的立方根。17.在複數集c中解方程:18x242x290。

z4

18.若z2(cosisin),則=_______________

5519.若|z34i|2時,複數|z|的最大值是 ____________

20.已知實數m滿足不等式|log2m4i|5,求m的取值範圍____________。



1i

21.設zn。nn,則數列前50的項和為2

22.已知p、qr,關於x的方程x22(pq)x2(p2q2)0有兩個虛根,且它們

p的立方均為實數,求的值。

q

23.求12...13的值。24.求證:(12)(12)4。25.若z2,z34,求z。

26.複數z1 = 3 + 2i, z2 = 3－i, 若f(z)1z, 則f(z1－z2)的值為___________。

27.若複數z滿足zz12i,則求z的值。

n

高一数学立体几何知识归纳篇二

第九章 直线、平面、简单几何体

学法指导：

1．必须明确本章内容的复习目标：（1）准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系（特别是平行与垂直的位置关系），能够运用概念、公理、定理等进行严密的推理判断和逻辑论证；

（2）正确理解空间的各种角和距离的概念，能将其转化为平面角和线段的长度，并能熟练地运用平面几何及三角知识来计算；（3）通过图形能迅速判断几何元素的位置关系，能熟练绘制符合要求的空间图形的直观图、截面图，熟练地处理折叠、截面的问题.但要注意立体几何中的示意图不反映元素关系的真实结构，逻辑论证仍是关键；

（4）理解用反证法证明命题的思路，会证一些简单的问题.2．要掌握解题的通法，推理严谨，书写规范

（1）转化法是空间直线和平面的位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系（主要指平行和垂直）、线面关系、面面关系三者中，每两者都存在着依存关系，充分、合理地运用这些关系是解题的关键；另外，转化法还常常运用在求距离时点的位置的变化，以及线面距、面面距间的转化；

（2）求角或距离的方法：① “一作、二证、三计算”，即先作出所求角或表示距离的线段，再证明它就是所要求的角或距离，然后再进行计算，尤其不能忽视第二步的证明.②向量法

9-1 立体几何中的平行问题 教学目标：

1.了解空间中两条直线的位置关系（相交、平行、异面）；了解直线和平面的位置关系(直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行)；了解两个平面的位置关系（相交、平行）。2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题.3.掌握两平面平行的判定和性质，并用以解决有关问题.教学重点：利用两条直线平行、直线与平面平行和面面平行的判定定理解决相关的证明问题。教学难点：线//线、线//面、面//面之间的相互联系。教学过程设计：

一、要点回顾：

1.空间中两条直线的位置关系：（1）相交：

（2）平行：公理4：

平行于同一直线的两条直线平行

（3）异面：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

判定定理：

2.空间中直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内：

公理1：

符号语言：

（2）直线与平面平行：定义

记作：

判定定理： 如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行

符号语言：

图形语言：

（3）直线和平面相交：

符号语言：

3.空间中平面和平面的位置关系：

（1）平面和平面相交：公理2：

符号语言： 图形语言：

（2）平面和平面平行：两个平面没有公共点。判定定理：

性质定理：

一个重要结论：

二、基础回顾：

1.如下图，正方体abcd—a1b1c1d1中，侧面对角线ab1、bc1上分别有两点e、f，且b1e=c1f.求证：ef∥平面abcd.方法一：

方法二：

说明：欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线与平面的判定、性质，在同一题中也经常用到。

2.如图，已知四棱锥p-abcd中，底面四边形abcd为正方形，侧面pdc为正三角形且平面，e为pc的中点，求证：pa//ebd。

三、考题训练：

例1.（2007全国）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 底面

分别为 的中点．（1）证明平面 ；

（2）设，求二面角 的大小． 解法一：

（1）作 交 于点，则 为 的中点． 连结，又，故 为平行四边形．，又平面平面 ． 所以平面 ．

（2）不妨设，则 为等腰直角三角形．取 中点，连结，则 ． 又平面，所以，而，所以 面 ．

取 中点，连结，则 ．

连结，则 ．故 为二面角 的平面角

．

所以二面角 的大小为 ．

解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 ． 设，则

，．

取 的中点，则 ．

平面平面，所以平面 ．

（2）不妨设，则 ．

中点

又，所以向量 和 的夹角等于二面角 的平面角．

．所以二面角 的大小为 ．

（其中第2问放在后面求二面角部分讲解）

例2.（08安徽）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为1的菱形，, , , 为 的中点，为 的中点.（ⅰ）证明：直线

；

（ⅱ）求异面直线ab与md所成角的大小；

（ⅲ）求点b到平面ocd的距离。方法一（综合法）

（1）取ob中点e，连接me，ne

又

（2）

为异面直线 与 所成的角（或其补角），作 连接，所以

与 所成角的大小为

（3）点a和点b到平面ocd的距离相等，连接op,过点a作

于点q，又,线段aq的长就是点a到平面ocd的距离

，所以点b到平面ocd的距离为

方法二(向量法)作 于点p,如图,分别以ab,ap,ao所在直线为 轴建立坐标系 ,(1)

设平面ocd的法向量为 ,则

即

取 ,解得

(2)设 与 所成的角为 ，, 与 所成角的大小为

(3)设点b到平面ocd的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值，由, 得.所以点b到平面ocd的距离为

四、能力提升

1.（08四川卷19）．如图，平面平面，四边形 与 都是直角梯形，（ⅰ）证明： 四点共面；

（ⅱ）设，求二面角 的大小； 【解1】：（ⅰ）延长 交 的延长线于点，由

得

，延长 交 的延长线于

同理可得 故，即 与 重合，因此直线 相交于点，即 四点共面。

（ⅱ）设，则，取 中点，则，又由已知得，平面，故，与平面 内两相交直线 都垂直。

所以平面，作，垂足为，连结 由三垂线定理知 为二面角 的平面角。

故

所以二面角 的大小

【解2】：由平面平面，得平面，以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系

（ⅰ）设，则

故，从而由点，得

故 四点共面

（ⅱ）设，则，在 上取点，使，则，从而

又，在 上取点，使，则

从而

故 与 的夹角等于二面角 的平面角，所以二面角 的大小

五、课堂小结：

1.“线//线”的证明方法 序号 文字语言 图形语言 符号语言 感悟 1 公理4：平行于同一直线的两直线平行线//面的性质定理：垂直于同一个平面的两直线平行面//面的性质定理平行四边形的对边分别平行三角形的中位线与它对应的底边平行

2.线//面的证明方法： 序号 文字语言 图形语言 符号语言 感悟 1 线//面的判定定理：如果两个平面平行，其中一个平面内的一条直线与另一个平面平行

3.面//面的证明方法： 序号 文字语言 图形语言 符号语言 感悟 1 判定定理

推论垂直于同一直线的两直线平行

六、课外作业： 1.（2004天津）

如图，在四棱锥 中，底面abcd是正方形，侧棱 底面abcd，是pc的中点。（1）证明平面edb；（2）求eb与底面abcd所成的角的正切值。

点评：本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，方法一：

（1）证明：连结ac、ac交bd于o。连结eo

∵ 底面abcd是正方形

∴ 点o是ac的中点。在 中，eo是中位线

∴

而平面edb且平面，所以，平面edb。

（2）解：作 交cd于f。连结bf，设正方形abcd的边长为。

∵

底面abcd

∴

∴

f为dc的中点

∴

底面abcd，bf为be在底面abcd内的射影，故 为直线eb与底面abcd所成的角。在 中，∵

∴ 在 中

所以eb与底面abcd所成的角的正切值为

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，d为坐标原点。设

（1）证明：连结ac，ac交bd于g。连结eg。依题意得，∵ 底面abcd是正方形

∴ g是此正方形的中心，故点g的坐标为

∴

∴

这表明 而平面 且平面edb

∴

平面edb（2）解：依题意得，取dc的中点

连结ef，bf ∵，∴，∴，∴

底面abcd，bf为be在底面abcd内的射影，故 为直线eb与底面abcd所成的角。

在 中，∴，所以，eb与底面abcd所成的角的正切值为。

七、板书设计：

八、教学反思：

9-2立体几何中的垂直问题 教学目标：

1.了解空间两条直线垂直的概念；

2.掌握空间中直线和平面垂直的判定和性质； 3.了解空间中两个平面垂直的判定和性质。教学重点： 教学难点： 教学过程设计：

一、要点回顾

1.线线垂直的判定：

（1）利用线线平行：一条直线垂直于两条平行线中的一条，则垂直于另一条（2）利用勾股定理逆定理（3）利用等腰三角形性质（4）利用平面图形性质

(5)线面垂直的性质：

(6)利用线面垂直、线面平行：

(7)利用三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。（反之也成立—逆定理）2.线面垂直判定

（1）判定定理1——如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。

（2）判定定理2——如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。

（3）面面垂直的性质：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

（4）面面垂直推论:如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面

（5）面面平行性质：一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面 线面垂直性质

（1）定义——如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线（2）性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面（6）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直（7）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直 3.（1）面面垂直判定

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 推论:如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直（2）面面垂直性质

推论:如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：

（1）平行转化：

(2)垂直转化：

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.二、基础体验：

1、(06安徽文6)设 均为直线,其中 在平面α内，则“l⊥α”是“ ”的（a）(a)充分不必要条件

(b)必要不充分条件(c)充分必要条件

(d)既不充分也不必要条件 2．（07四川卷）如图，为正方体，下面结论错误的是（）（a）平面

（b）

（c）平面

（d）异面直线 与 所成的角为60° 解：异面直线 与 所成的角为45°，选ｄ． 3.（08上海卷13）给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（c）条件

a．充要

b．充分非必要

c．必要非充分

d．既非充分又非必要

三、考题训练：

例1.（07全国2）如图，正三棱柱 的所有棱长都为，为 中点．（ⅰ）求证：平面 ；（ⅱ）求二面角 的大小．

本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力． 解法一：（ⅰ）取 中点，连结 ． 为正三角形，．

正三棱柱 中，平面平面，平面 ． 连结，在正方形 中，分别为 的中点，．

在正方形 中，平面 ．

（ⅱ）设 与 交于点，在平面 中，作 于，连结，由（ⅰ）得平面 ．，为二面角 的平面角． 在 中，由等面积法可求得，又，．

所以二面角 的大小为 ． 解法二：（ⅰ）取 中点，连结 ．

为正三角形，．

在正三棱柱 中，平面平面，平面 ．

取 中点，以 为原点，，的方向为 轴的正方向建立 空间直角坐标系，则，，，，．，，．平面 ．

（ⅱ）设平面 的法向量为 ．，．，令 得 为平面 的一个法向量．由（ⅰ）知平面，为平面 的法向量．，． 二面角 的大小为 ．

例2.如图,在底面为直角梯形的四棱锥

,bc=6.(ⅰ)求证:

(ⅱ)求二面角 的大小.解法一：（ⅰ）平面，平面 ． ． 又，．，，即 ．

又 ．平面 ．（ⅱ）连接 ．

平面 ．，．

为二面角 的平面角． 在 中，，二面角 的大小为 ． 解法二：（ⅰ）如图，建立坐标系，则，，，，，．，又，面 ．

（ⅱ）设平面 的法向量为，设平面 的法向量为，则，解得

．

，． 二面角 的大小为 ．

四、能力提升：

1.（08全国二19）如图，正四棱柱 中，点 在 上且 ．（ⅰ）证明：平面 ；（ⅱ）求二面角 的大小．

解：以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 ． 依题设，．，．

（ⅰ）因为，故，．

又，所以平面 ．

（ⅱ）设向量 是平面 的法向量，则，． 故，．

令，则，．

等于二面角 的平面角，．

所以二面角 的大小为 ．

五、课堂小结：

六、课外作业：

1.（08山东）如图，已知四棱锥p-abcd，底面abcd为菱形，pa⊥平面abcd，,e，f分别是bc, pc的中点.（ⅰ）证明：ae⊥pd;

（ⅱ）若h为pd上的动点，eh与平面pad所成最大角的正切值为，求二面角e—af—c的余弦值.解：由（ⅰ）知ae，ad，ap两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又e、f分别为bc、pc的中点，所以e、f分别为bc、pc的中点，所以a（0，0，0），b（，-1，0），c（c，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2），e（，0，0），f（），所以

设平面aef的一法向量为

则

因此 取

因为

bd⊥ac，bd⊥pa，pa∩ac=a，所以bd⊥平面afc，故 为平面afc的一法向量.又 =（-），所以

cos＜m, ＞=

因为二面角e-af-c为锐角，所以所求二面角的余弦值为

2.（08陕西卷19）三棱锥被平行于底面 的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，，，．（ⅰ）证明：平面平面 ；（ⅱ）求二面角 的大小． 解：（ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则，．

点坐标为 ．

，．，，又，平面，又平面，平面平面 ．（ⅱ）平面，取 为平面 的法向量，设平面 的法向量为，则 ．

，如图，可取，则，即二面角 为 ． 补充资料：

1.（07湖南）如图，在三棱锥 中，，是 的中点，且，．（i）求证：平面平面 ；

（ii）试确定角 的值，使得直线 与平面 所成的角为 ． 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（ⅰ），是等腰三角形，又 是 的中点，又 底面 ． ．于是平面 ． 又平面，平面平面 ．

（ⅱ）过点 在平面 内作 于，则由（ⅰ）知平面 ． 连接，于是 就是直线 与平面 所成的角． 依题意，所以 ：在 中，； 在 中，．，．

故当 时，直线 与平面 所成的角为 ． 解法2：（ⅰ）以 所在的直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，，． 从而，即 ． 同理，即 ．又，平面 ．

又平面 ．平面平面 ．

（ⅱ）设平面 的一个法向量为，则由 ．

得 可取，又，于是，即，．

故交 时，直线 与平面 所成的角为 ．

（07全国1）四棱锥 中，底面abcd为平行四边形，侧面 底面abcd，已知，。（ⅰ）证明： ；

（ⅱ）求直线sd与平面sbc所成角的大小。（1）解法一：作，垂足为，连结，由侧面 底面，得 底面 ．因为，所以，又，故 为等腰直角三角形，由三垂线定理，得 ． 解法二：

作，垂足为，连结，由侧面 底面，得平面 ．因为，所以 ． 又，为等腰直角三角形，．

如图，以 为坐标原点，为 轴正向，建立直角坐标系，因为，又，所以，．，，所以 ．（2），.与 的夹角记为，与平面 所成的角记为，因为 为平面 的法向量，所以 与 互余．，所以，直线 与平面 所成的角为 ．

七、板书设计：

八、教学反思：

9-3空间中直线、平面的位置关系 教学目标：

1.掌握空间中直线与直线、直线和平面、平面与平面的各种位置关系；

2.掌握立体几何中文字语言、图形语言、符号语言的相互转换，并且能利用定理进行命题真假的判断。教学重点：

1.直线和平面平行、垂直的判定定理和性质定理 2.平面和平面平行、垂直的判定定理和性质定理.教学难点：利用定理和一般结论判断所给命题的真假 教学过程设计：

一、要点回顾：（1）平行转化：

(2)垂直转化：

二、基础体验：

1.（06北京卷）设a、b、c、d是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(c)（a）若ac与bd共面，则ad与bc共面

（b）若ac与bd是异面直线，则ad与bc是异面直线

(c)若ab=ac，db=dc，则ad=bc

(d)若ab=ac，db=dc，则ad bc 解：a显然正确；b也正确，因为若ad与bc共面，则必有ac与bd共面与条件矛盾；c不正确，d正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明。选c 2．（06天津卷）若 为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ① ；② ；③ ．其中正确的命题有（c）ａ．0个

ｂ．1个

ｃ．2个

ｄ．3个

解：若 为一条直线，、、为三个互不重合的平面，下面三个命题：

① 不正确； ② 正确；

③ 正确，所以正确的命题有2个，选c.3．(06上海卷)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（a）

（a）充分非必要条件

（b）必要非充分条件

（c）充分必要条件

（d）既非充分又非必要条件 4．（06重庆卷）若 是平面 外一点，则下列命题正确的是(d)（a）过 只能作一条直线与平面 相交

（b）过 可作无数条直线与平面 垂直（c）过 只能作一条直线与平面平行

（d）过 可作无数条直线与平面平行

三、考题训练 1．（06辽宁卷）给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线 与同一平面所成的角相等，则 互相平行；④若直线 是异面直线，则与 都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是（d）ａ．1

ｂ．2

ｃ．3

ｄ．4 2．(06广东卷)给出以下四个命题: ① 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线相互平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是（）a.4

b.3

c.2

d.1 解：①②④正确，故选b.3.(06福建卷)对于平面 和共面的直线、下列命题中真命题是(c)（a）若 则

（b）若 则

（c）若 则

（d）若、与 所成的角相等，则

4．（06湖北卷）

6、关于直线m、n与平面、，有下列四个命题： ①若 且，则 ；

②若 且，则 ； ③若 且，则 ；

④若 且，则 ； 其中真命题的序号是(d)a．①②

b．③④

c．①④

d．②③ 解：用排除法可得选d 5.（06福建）是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①

②

③

④

其中，真命题的编号是_______①，④ _________;（写出所有真命题的编号）解： 是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：

① ,为真命题；②，为ie假命题；③ 为假命题； ④ 为真命题，所以真命题的编号是①、④.6．（07北京卷）平面平面 的一个充分条件是（）ａ．存在一条直线

ｂ．存在一条直线

ｃ．存在两条平行直线

ｄ．存在两条异面直线

解：平面平面 的一个充分条件是存在两条异面直线，选ｄ．

四、能力提升 1．（07天津卷）设 为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）a．若 与 所成的角相等，则

b．若，，则

c．若，，则

d．若，，则

解：ａ项中若 与 所成的角相等，则 可以平行、相交、异面故错；ｂ项中若，则 可以平行、异面故错；ｃ项中若

则 可以平行、相交；而d项是对，因为此时 所成的角与 所成的角是相等或是互补的，则 ．

【分析】对于a当 与 均成 时就不一定；对于b只需找个，且

即可满足题设但 不一定平行；对于c可参考直三棱柱模型排除，故选d.2．（07重庆卷）垂直于同一平面的两条直线（a）平行

（b）垂直

（c）相交

（d）异面 解：垂直于同一平面的两条直线平行.选a.3．（07辽宁卷）若 是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）a．若，则 b．若，则

c．若，则

d．若，，则

解：由有关性质排除a、c、d，选b.4．（07江苏卷）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ①

②

③

④

其中正确命题的序号是（）

a．①、③

b．②、④

c．①、④

d．②、③ 解：②中，有可能是异面直线；③中，有可能在 上，都不对，故选（c）。

五、课堂小结：

六、课外作业：

1．(07广东卷)若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是

a．若，则

b．若，则

c.若，则

d．若，则

解：对a，当

∥，时，只是平行于

中某一直线而非所有，因而 未必能平行于n；对b，只有在 垂直与两面的交线才有结论 ⊥

成立；对c，直线 和m可以是异面，立方体的棱就能体现这种关系。选d.2.已知 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）ａ．，，ｂ．，ｃ．，ｄ．，解：a中m、n少相交条件，不正确；b中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；c中n可以在 内，不正确，选d.3.（08安徽卷3）已知 是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（b）a．

b．

c．

d．

4.（08湖南卷5）已知直线m,n和平面 满足 ,则（d)

或

或

5.（08上海卷13）给定空间中的直线l及平面 ．条件“直线l与平面 内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面 垂直”的（c）

ａ．充分非必要条件

ｂ．必要非充分条件

c．充要条件

ｄ．既非充分又非必要条件

6.（08天津卷5）设 是两条直线，是两个平面，则 的一个充分条件是（c）a．

b．

c．

d．

7、（05江苏4）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：（）①

②

③

④

其中正确命题的序号是

a．①③

b．②④

c．①④

d．②③

七、板书设计：

八、教学反思：

9-4空间角 教学目标：

1.理解两异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角的平面角的概念；

2.会利用几何法、向量法求角（两异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角的平面角）教学重点：利用向量法求空间角

教学难点：建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求解立体几何综合问题。教学过程设计：

一、基础回顾： 1.异面直线所成的角

（1）定义：

（2）范围：

.（3）基本求法：

2.直线和平面所成的角：（1）定义：

（2）范围：

（3）基本求法：

3.二面角（1）相关定义：①从一条直线出发的两个

组成的图形叫做二面角。②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作

的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小是用它的 的大小来度量的。（2）二面角的范围 ：。

（3）常见求法：

、、、、.①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.用定义时，要认真观察图形的特征.②三垂线法：已知二面角其中一个面内到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角.③垂面法：在棱上取一点（通常是特殊点）作棱的垂面.④射影法：利用面积射影公式，其中为平面角的大小.此方法不必在图中画出平面角来（此法仅能在小题中使用）.⑤向量法：

二、基础体验： 1．（06四川卷）已知二面角 的大小为，为异面直线，且，则 所成的角为(b)（a）

（b）

（c）

（d）

解：已知二面角 的大小为，为异面直线，且，则 所成的角为两条直线所成的角，∴ θ=，选b.2.直三棱柱 中，点 分别是 的中点，则bd与af所成的角的余弦值是（）a.b.c.d.三、考题训练：

例1（04广东18）如右下图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，已知ab=4，ad=3，aa1=2。e、f分别是线段ab、bc上的点，且eb=bf=1。求直线ec1与fd1所成的角的余弦值。思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把 与 所成角 看作向量 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段c1e让c1与d1重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图1）解法一：以a为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有

d1(0,3,2)、e(3,0,0)、f(4,1,0)、c1(4,3,2),于是

设ec1与fd1所成的角为，则:

∴直线 与 所成的角的余弦值为

解法二：延长ba至点e1,使ae1=1,连结e1f、de1、d1e1、df，有 d1c1//e1e, d1c1=e1e,则四边形d1e1ec1是平行四边形。则e1d1//ec1.于是∠e1d1f为直线 与 所成的角。在rt△be1f中，.在rt△d1de1中，在rt△d1df中，在△e1fd1中,由余弦定理得：

∴直线 与 所成的角的余弦值为.[说明]“转化”是求异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一般地，异面直线 l1、l2的夹角的余弦为：.练习1．(07全国ⅰ)如图，正四棱柱 中，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）a．

b．

c．

d．

解：如图，连接bc1，a1c1，∠a1bc1是异面直线 与

所成的角，设ab=a，aa1=2a，∴ a1b=c1b= a，a1c1= a，∠a1bc1的余弦值为，选d。

2.（08全国二10）已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等，是 的中点，则 所成的角的余弦值为（c）a．

b．

c．

d．

例2.（1）(07全国ii)已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等，则 与侧面 所成角的正弦值等于（）a．

b．

c．

d．

解：已知正三棱柱abc－a1b1c1的侧棱长与底面边长相等，取a1c1的中点d1，连接bd1，ad1，∠b1ad1是ab1与侧面acc1a1所成的角，选a。

（2）如图，在体积为1的直三棱柱 中，． 求直线 与平面 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 解：法一： 由题意，可得体积，．连接 ．，平面，是直线 与平面 所成的角．

，则

＝ ．即直线 与平面 所成角的大小为 ． 法二： 由题意，可得

体积，如图，建立空间直角坐标系． 得点，． 则，平面 的法向量为 ．

设直线 与平面 所成的角为，与 的夹角为，则。

练习：如图,在正三棱柱 中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则 与侧面

所成的角是____________ 解：，点 到平面 的距离为，∴，．

例3.如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形，为 中点．（ⅰ）证明：平面 ；

（ⅱ）求二面角 的余弦值． 证明：（ⅰ）由题设

，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又 为等腰三角形，故，且，从而 ．

所以 为直角三角形，． 又 ．所以平面 ．（ⅱ）解法一： 取 中点，连结，由（ⅰ）知，得 ．

为二面角 的平面角． 由 得平面 ． 所以，又，故 ．

所以二面角 的余弦值为 ．

解法二：建立空间直角坐标系 ．设，则 ．的中点，．

． 故 等于

二面角 的平面角．，所以二面角 的余弦值为 ．

总结：二面角的求法：

1.几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图(1)②利用三垂线定理及其逆定理，图(2)最常用。③作棱的垂面，图(3)图4

另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角； 2.向量法：①从平面的法向量考虑，设

分别为平面 的法向量，二面角 的大小为，向量的夹角为，则有 或

（图5）

图5

②如果ab、cd分别是二面角 的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。

[说明]在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取 时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

四、能力提升：

1.（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形abc中，d，e，f分别为各边的中点，g，h，i，j分别为af，ad，be，de的中点.将△abc沿de，ef，df折成三棱锥以后，gh与ij所成角的度数为（b）a.90°

b.60° c.45°

d.0°

解析：将三角形折成三棱锥如图9—与ij为一对异面直线.过点d分别作hg与ij的平行线，即df与ad.所以∠adf即为所求.因此，hg与ij所成角为60°.评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.2.（2002全国理，8）正六棱柱abcdef—a1b1c1d1e1f1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线e1d与bc1所成的角是（）a.90°

b.60°

c.45°

d.30°

解析：连结fe1、fd，则由正六棱柱相关性质得fe1∥bc1.在△efd中，ef=ed=1，∠fed=120°，∴fd=.在rt△efe1和rt△ee1d中，易得e1f=e1d=.∴△e1fd是等边三角形.∴∠fe1d=60°.∴bc1与de1所成的角为60°.评述：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法.3.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图9—4三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为p1、p2、p3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）a.p3＞p2＞p1

b.p3＞p2＝p1 c.p3＝p2＞p1

d.p3＝p2＝p1 解析：由s底＝s侧cosθ可得p1＝p2而p3＝

又∵2（s1＋s2）＝s底

∴p1＝p 2＝p 3

五、课堂小结： 1.2.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化。主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算。

六、课外作业：

1.（08全国一11）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等，在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（c）a．

b．

c．

d．

2.（08福建卷6)如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=bc=2,aa1=1,则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为（d）a.b.c.d.3.（2009年云南省第一次统测）在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面，是 中点，作 交 于 ．

（1）证明平面 ：

（2）证明平面 ；

（3）求二面角 的大小．

4．(06福建卷)如图，在正方体 中，分别为，，的中点，则异面直线 与 所成的角等于（）ａ．

ｂ．

ｃ．

ｄ．

解：连a1b、bc1、a1c1，则a1b=bc1=a1c1，且ef∥a1b、gh∥bc1，所以异面直线ef与gh所成的角 等于.60°，选b.9-5距离 教学目标： 1.理解点到平面的距离、两异面直线间的距离、直线到与它平行平面的距离的概念。2.会用等体积法、向量法求点到平面的距离。

3.将直线到与它平行的平面的距离转化为点到平面的距离求解。教学重点：用等体积法、向量法求点到平面的距离。教学难点：建立适当的坐标系，求解点到平面的距离。教学过程设计：

一、要点回顾：

1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.5.借助向量求距离：

（1）求点面距离的向量公式

平面α的法向量为n，点p是平面α外一点，点m为平面α内任意一点，则点p到平面α的距离d就是 在向量n方向射影的绝对值，即d=.（2）异面直线的距离的向量公式

设向量n与两异面直线a、b都垂直，m∈a、p∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是 在向量n方向射影的绝对值，即d=.二、基础体验：

1.（06天津）如图，在正三棱柱 中，．若二面角 的大小为，则点 到直线 的距离为

．

2.（07）正三棱锥 的高为2，侧棱与底面abc所成角为，则点 到侧面 的距离是

.解：如图，∠pbo＝45°，po＝ob＝2，od＝1，bd＝，pb＝2，pd＝，ad＝3，得ae＝.3.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是____ ____． 解：显然正六棱锥 的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥 的高依题意可得为2，依此可求得

三、考题训练：

例1.如图，在正三棱柱 中，所有棱长均为1，则点 到平面 的距离为.解：连结 则点 到平面 的距离转化为c点到平面 的距离，易得，则由

，求得h=。

例2.如图，在三棱锥s-abc中，（1）求二面角n-cm-b的大小；（2）求点b到平面cmn的距离。

四、课堂小结：

求空间距离的方法可分为直接法、转化法、向量法.1.直接法是直接作出垂线，再通过解三角形求出距离.2.转化法则是把点面距离转化为线面距离，或把线面距离转化为面面距离，再转化为点面距离.3.向量法是把距离求解转化为向量运算.9-6简单多面体和球 教学目标：

1.理解球和球面的概念，理解球面距离的概念； 2.注意多面体与球的关系；

3.掌握球半径、截面小圆半径与球心到截面圆距离三者间的关系； 4.了解地球仪上经度、纬度的概念，并用球的相关知识解决问题。教学重点：多面体与球的相关计算.教学难点：理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内切、外接几何问题的解法。教学过程设计：

一、要点回顾：(一)正多面体

1.概念: 每一个面都有相同边数的,且以每个顶点为一端点有相同数目的棱的凸多面体.2.五种正多面体: 正

面体、正

面体、正

面体、正

面体、正

面体.(二)球

1.概念: 球面, 球

1.到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球，到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离.2.球的体积与表面积:、3.球的截面与性质：

球心到截面圆的距离d =

.4.球面距离及其计算

(1)小圆, 大圆 , 经度角 , 纬度角

(2)球面距离=

×

(纬度圆半径r =)(三)外接球、内切球与组合体

1.棱长为a 的正方体的外接球半径：

内切球半径：

（长方体的外接球半径：）2.棱长为a 的正四面体的外接球半径：

内切球半径：

二、基础体验：

1．地球半径为r，则南纬600的纬线圈长为（）a．

b．

c．

d．r 2．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）a．

b．

c．

d．

3．设地球半径为r，若甲地位于北纬450东经1200，乙地位于南纬750东经1200，则甲，乙两地的球面距离为（）a．

b．

c．

d．

4．地球表面上从a地(北纬45°,东经120°)到b地(北纬45°,东经30°)的最短距离为(球的半径为r)

（）a．

b．πr

c．

d．

5.正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是（）

a．

b．

c．

d．

6．一个四面体的所有棱长都为 , 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积是

（）a．3π

b．4π

c．3 π

d．6π

三、考题训练： 例1．（1）(06全国ⅰ)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(c)a．

b．

c．

d．

解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴ 球的半径为，球的表面积是，选c.（2）(06福建卷)已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于(d)（a）

（b）

（c）

（d）

解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径r=2, 正方体的对角线的长为4，棱长等于，选d（3）(06安徽卷)表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

a．

b．

c．

d．

解：此正八面体是每个面的边长均为 的正三角形，所以由 知，则此球的直径为，故选a。

例2.（06山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为(c)（a）

（b）3

（c）3

（d）1∶9 解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1∶3，选c 例3.如图,正四面体abcd的外接球的体积为 ,求此四面体的体积.四、能力提升：

1.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于____π3 ________。

解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα= , ∴ 二面角等于60°。2.已知圆 是半径为 的球 的一个小圆，且圆 的面积 和球 的表面积 的比 为，则圆心 到球心 的距离与球半径的比 ＿ ＿＿。解：设圆 的半径为r，则 ＝，＝，由

得r  r＝  3，又，可得 1  3

3．(06湖南卷)过半径为2的球o表面上一点a作球o的截面，若oa与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是(a)

a．π

b.2π

c.3π

d.解：过半径为2的球o表面上一点a作球o的截面，若oa与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是 r=1，该截面的面积是π，选a.4.如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同一

个大圆上，点 在球面上，如果，则球 的表面积是(d)（a）

（b）

（c）

（d）

解：如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同

一个大圆上，点 在球面上，po⊥底面abcd，po=r，，所以，r=2，球 的表面积是，选d.五、课堂小结：

六、课外作业： 1.（08全国二8）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（b）a．3

b．6

c．9

d．18 2.（08全国二12）．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（c）a．1

b．

c．

d．2 3.（08湖北卷4）用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为（d）

a.b.c.d.4.（08湖南卷9）长方体 的8个顶点在同一个球面上，且ab=2，ad=，则顶点a、b间的球面距离是（b)a．

b．

c．

d．2 5.（08福建卷15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.9

6.（海南卷14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________

7.（福建15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.9

8.（海南卷14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________ 10．(07全国ii)已知三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 a．

b．

c．

d．

解：已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角的余弦值等于，选a。

11.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为

cm ．

解：一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2r=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4 cm2.12.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，则此球的表面积为

． 解：长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径，设球的直径为 则：，由于球的表面积为:.13把边长为 的正方形abcd沿对角线ac折成直二面角, 折成直二面角后, 在a,b,c,d四点所在的球面上,b与d两点之间的球面距离为(a)(b)(c)(d)

解：球的半径为1，b与d两点恰好是两条垂直的半径的端点，它们之间的球面距离为 个大圆周长，即，选c。

14．(07陕西卷)rt△abc的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面abc的距离是（a）5

（b）6

（c）10（d）12 解：rt△abc的斜边长为10，且斜边是rt△abc所在截面的直径，球心到平面abc的距离是d=，选d.七、板书设计：

八、教学反思：

高一数学立体几何知识归纳篇三

一、线线平行的证明方法

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、反证法。

3、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

4、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面

三、面面平行的证明方法

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

3、平行于同一平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影

6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直

高一数学立体几何知识归纳篇四

高三数学总复习立体几何复习(1)

一、基本知识回顾

(1)重要的几何位置关系；平行与垂直。主要包括线线、线面、面面三种情况。证明的基本思路：一般情况下，利用判定定理。而构造满足判定定理的条件时一般采用性质定理，即利用性质定理逆推来寻找满足判定定理的条件(关键图形)。一般的思路是：线线←→线面←→面面，即高维的位置关系借助低维的位置关系来证明(判定)，低维位置关系作为高维位置关系的性质。下面列表说明证明的一般方法。(需要说明的是，表中的性质定理并不是该表格所判定的位置关系的性质定理。如表1中的性质定理并不仅限于线线平行的性质。)

①线线平行的判定：

平行公理

性质定理

②线面平行的判定：

判定定理

性质定理

③面面平行的判定；

判定定理

性质定理

线面平行

面面平行

④线线垂直的判定：

判定定理

性质定理

⑤线面垂直的判定：

判定定理

性质定理

⑥面面垂直的判定：

判定定理

总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。

(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。

判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。

二、基本例题

例1 已知：

分析：利用线面平行的性质与平行公理。注意严格的公理化体系的推理演绎。

说明：过l分别作平面

∴l∥m同理l∥n

∴m∥n

又

又

例2.已知：ab是异面直线a、b的公垂线段，p是ab的中点，平面ab垂直，设m是a上任意一点，n是b上任意一点。

经过点p且与

求证：线段mn与平面的交点q是线段mn的中点。

分析：利用线线平行、线面平行的性质。

证明：连结bm，设，连结pr，qr

在平面abm中，ab⊥pr，ab⊥am

∴am∥pr，同理可证

∵bnì平面bmn且平面

且r为bm中点

∴bn∥rq

△bmn中，由r为bm中点可知q为mn中点。

例3.已知pa⊥矩形abcd所在的平面，m、n分别是ab、pc的中点。

(1)求证：mn∥平面pad；(2)求证：mn⊥cd

分析：利用性质定理来构造满足判定定理的条件。

(1)法一：取pd中点e，连结ne，ae

∴△pcd中ne，又am，∴amne

∴四边形amne为平行四边形，∴mn∥ae

∴mn∥平面pad

法二：连结cm并延长与da延长线交于f，连结pf

∴m为cf中点，∴mn∥pf，∴mn∥平面pad

法三：取cd中点g，连结ng，mg

∴ng∥pd，mg∥ad，∴平面ad∥平面mng

∴mn∥平面pad

(2)∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥cd又cd⊥ad，∴cd⊥平面pad

由(1)知cd⊥ae(或pf)，∴cd⊥mn

[或cd⊥平面mng，∴cd⊥mn]

例4.已知：正三棱柱abc-a1b1c1中，m是bb1上一点，平面amc1⊥平面a1acc1，n是a1c1的中点，p是a1a的中点，求证：平面amc1∥平面b1np

证明：在平面amc1中作md⊥ac1

∴md⊥平面acc1a1

由正三棱柱的性质，b1n⊥平面acc1a1

∴md∥b1n

又△a1ac1中，dn∥ac1且ac1∩md=d，dn∩b1n=n

∴平面amc1∥b1np

例5 如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为正方形，pa⊥平面abcd。过a且垂直于pc的平面分别交pb、pc、pd于e、f、g。求证：ae⊥pb，ag⊥pd

分析：利用线面垂直的性质。

证明：∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥bc

由已知bc⊥ab，∴bc⊥平面pab，∴bc⊥ae ∵pc⊥平面agfe，∴pc⊥ae

∴ae⊥平面pbc

∴ae⊥pb，同理ag⊥pd

例6.已知：三棱锥a-bcd，ao1⊥平面bcd，o1为垂足，且o1是△bcd的垂心。求证：d在平面abc上的射影是△abc的垂心。

分析：利用线面垂直的性质。

证明：连结do1，ao1设d在平面abc内的射影为o2，连结do2，ao2，∵ao1⊥平面bcd，∴do1为ad在平面bcd内射影

同理ao2为ad在平面abc内射影

∵o1为bcd的垂心 ∴do1⊥bc ∴bc⊥ad ∴bc⊥ao2同理ab⊥co

2∴o2为△abc的垂心

例7已知：正三棱柱abc-a1b1c1中，ab1⊥bc1，求证：a1c⊥ab1

分析：三垂线定理的逆定理的应用(线面垂直的性质)

证明：取ab、a1b1中点dd1，连结a1d，cd，c1d1

由正三棱柱的性质c1d1⊥平面abb1a1，cd⊥平面abb1a1，∴a1d、bd1分别为a1c与bc1在平面abb1a1内的射影

∵ab1⊥bc1，∴ab1⊥bd1。

在矩形abb1a1中a1d∥bd1，∴ab1⊥a1d ∴ab1⊥a1c

例8 如图，pa⊥平面abcd，四边形abcd是矩形，pa=ad=a，m、n分别是ab、pc的中点。

求证：平面mnd⊥平面pcd。

证明：取pd中点e，连结ne、ae 由例3，mn∥ae，cd⊥mn，cd⊥平面pad ∵pa⊥平面abcd ∴pa⊥ad ∴等腰rt△pad中ae⊥pd rt△pcd中ne∥cd，∴ne⊥pd ∴pd⊥平面mnea，∴pd⊥mn ∴mn⊥平面pcd ∴平面mnd⊥平面pcd