最新均值不等式证明过程(六篇)

无论是身处学校还是步入社会，大家都尝试过写作吧，借助写作也可以提高我们的语言组织能力。相信许多人会觉得范文很难写？下面是小编帮大家整理的优质范文，仅供参考，大家一起来看看吧。

均值不等式证明过程篇一

2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)＞6abc

3、(abc)(1119) abbcca

24、设a,br，且ab1，求证：(a)(b)

5、若ab1，求证：asinxbcosx

16、已知ab1，求证：ab

7、a,b,c,dr求证：1＜441a21b225 2221 8abcd+++＜2 abdbcacdbdac

18、求证2222＜2 123n

1111＜1

9、求证：2n1n22n

10、求下列函数的最值

（1）已知x＞0，求y2x

（2）已知x＞2，求yx4的最大值（-2）x1的最小值（4）x

2111（3）已知0＜x＜，求yx(12x)的最大值（）2216

11、若正数a,b满足ab(ab)1则ab的最小值是（）

（22333）

12、已知正数a,b求使不等式(ab)k(ab)成立的最小k值为（）（4）

3、求函数y

14、二次函数f(x)xaxxa的两根x1,x2满足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范围（）（0，15、关于x的方程x2m(x3)2m140有两个实数根，且一个大于1，一个小于1，则m的取值范围是（）（m＜-

22221）

416、关于x的方程mx2x10至少有一个负根，则m的取值范围是（m1）

17、关于x的方程2kx2x3k20有两个实数根，一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围（k＞0或k＜-4）

218、为使方程x22px10的两根在（-2,2）内，求p的取值范围（-＜p＜

19、函数f(x)ax2x1有零点，则a的取值范围是（a

20、判断函数f(x)x-

21、已知方程x22343）41）411的零点的个数（一个）x395xk在1,1上有实数根，求实数k的取值范围（,）2162

22、已知方程7x2(m13)xm2m20有两个实数根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范围（(2,1)(3,4)）

23、关于的方程2axx10在（0,1）内恰有一解，求实数a的取值范围(1,)

24、若关于的方程lg(x

x2x220x)lg(8x6a3)0有唯一实根，求a的取值范围

均值不等式证明过程篇二

均值不等式

百科名片

1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n

这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn 的式子即为均值不等式。

目录 均值不等式的简介

均值不等式的变形 均值不等式的证明

均值不等式的应用

其他不等式

重要不等式2.排序不等式

重要不等式5.均值不等式 重要不等式1.柯西不等式

柯西不等式的一般证法有以下几种：

（1）cauchy不等式的形式化写法就是：

记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai * bi)^2.我们令 f(x)= ∑(ai + x * bi)^2 =(∑bi^2)* x^2 + 2 *(∑ai * bi)* x +(∑ai^2)则我们知道恒有 f(x)≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 δ = 4 *(∑ai * bi)^22.排序不等式 排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。

设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.证明时可采用逐步调整法。

例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1，值变小，只需作差证明（a 1-a 2）*（b 1-b 2）≥0，这由题知成立。

依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。

重要不等式4.琴生不等式

设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：

f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)，其中ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.重要不等式6.完全的均值不等式 √[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)

（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）

证明：（证明过程引自他出）

设a，b是两个正数，m2=√[(a^2+b^2)/2]，a=(a+b)/2，g=√(ab)，h=2/(1/a+1/b)分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。

证明: m2≥a≥g≥h。

证明 在梯形abcd中，ab∥cd，记ab=b，cd=a。eifi(i=1,2,3,4)是平行于梯形abcd的底边且被梯形两腰所截的线段。

如果e1f1分梯形为等积的两部分，那么e1f1=√[(a^2+b^2)/2]。如果e2f2为梯形的中位线，那么e2f2=(a+b)/2。

如果e3f3分梯形为两相似图形，那么e3f3=√(ab)。

如果e4f4通过梯形两对角线交点的线段，那么e4f4=2/(1/a+1/b)。从图中直观地证明e1f1≥e2f2≥e3f3≥e4f4，当a=b时取等号。

重要不等式几何平均（0次幂），二次平均（2次幂）

概念

1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)

3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn

a

1、a

2、…、an∈r +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

均值不等式的一般形式：设函数d(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即d(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r

变形

(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab

(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0

(3)对负实数a,b，有a+b

(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)

(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0

(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab

(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2

(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac

(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2

2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）

均值不等式证明过程篇三

均值不等式证明

一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证

xy+1/xy≥17/

41=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥

2当且仅当xy=1/xy时取等

也就是xy=1时

画出xy+1/xy图像得

01时，单调增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得证

继续追问：

拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证

补充回答：

我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：

证xy+1/xy≥17/4

即证4(xy)²-17xy+4≥0

即证(4xy-1)(xy-4)≥0

即证xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈r+，x+y=

1显然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4，得证

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4x²y²-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!

二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)

即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

三、1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn的式子即为均值不等式。

概念：

1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：qn=√

这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn

a

1、a

2、…、an∈r+，当且仅当a1=a2=…=an时劝=”号

均值不等式的一般形式：设函数d(r)=^(1/r)(当r不等于0时);

(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即d(0)=(a1a2...an)^(1/n))

则有：当r注意到hn≤gn≤an≤qn仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)

由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√

方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则(a+b)^n≥a^n+na^(n-1)b。

注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a+b≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

当n=2时易证;

假设当n=k时命题成立，即

((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，则

ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。

设s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)

={s/k+/}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理

=(s/k)^k*a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f≥1/n*

设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln≥1/n*=ln

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)。

均值不等式证明过程篇四

用均值不等式证明不等式

【摘要】：不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位．本文介绍了用均值不等式证明几个不等式，我们在证明不等式时，常用到均值不等式。要求我们要认真分析题目，本文通过几个国内外竞赛数学的试题，介绍用均值不等式证明初等不等式的基本方法及技巧。

【关键词】：均值不等式；不等式；方法；技巧

均值不等式

设 a

1、a

2、、an 是 n 个 正数，则不等式h(a)g(a)a(a)q(a)称为均值不等式[1]．其中

h(a)

n

1a

11a

2

1an，g(a)

a1a2a1aan，a(n)

a1a2an

n，2

q(n)

a1a2an

n

、an 的调和不等式，几何平均值，算术平均值，均方根平均分别称为 a

1、a

2、值．

例1设a

1、a

2、…、an均为正，记

(n)n（a1a2an

n



a1a2an)

试证：(n)(n1)，并求等号成立的条件．

证明由所设条件，得

(n)(n1)

=n（a1a2an

n



n

a1a2an)(n1)（a1a2an

1n1



n1

a1a2an1)

=a1a2annna1a2an(a1a2an1)(n1)n1a1a2an1

=an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n，n1

(a1a2an1)n1，有 将g(a)a(a)应用于n个正数：an，（a1a2an1）



n1个

an(n1)(a1a2an1)n1

n

(a1a2an)n，即

an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n．

所以(n)(n1)，当且仅当an(a1a2an1)立．

n1，即ann1a1a2an时等号成1

此题不只是公式的直接应用．代表了均值不等式中需要挖掘信

、an 的一类题． 息找a

1、a

2、例2设xyz0，求证：6(x3y3z3)2(x2y2z2)3． 证明当xyz0时不等式显然成立．

除此情况外，x、y、z中至少有一正一负．不妨设xy0，因为

z(xy)，所以

i6(xyz)6[xy(xy)]6[3xy(xy)]54xyz

．

若由此直接用g(a)a(a)(n3)，只能得到较粗糙的不等式

i54xyz54（xyz

2)2(xyz)，3222

3如果改用下面的方法，用g(a)a(a)，便得

i54xyz

222

216

xy2



xy2

z

xyxy2z

(2z22xy)3，2163

再注意到x2y2(xy)22xyz22xy，因而2z22xyx2y2z2，于是即得欲证的不等式．

此题解题的关键在于构造a

1、a

2、、an通常需要拓宽思路多次尝试，此类也属均值不等式的常考类题． 例3设x0，证明：2

x

2

x

22

x

．(第16届全苏数学竞赛试题[2])

证明此不等式的外形有点像均值不等式． 由g(a)a(a)，得

x2

x

x

2

x

22

x

2

x

22，又

x2

x

1111

(x12x4)2x6，即得要证的不等式．

结语

有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较常见的不等式是有好处的)；有些不等式还要用数学归纳法来证明等等．而且在一个题目的证明过程中，也往往不止应用一种方法，而需要灵活运用各种方法．因此，要培养和提高自己的证题能力。

参考文献

[1]陈传理等编．数学竞赛教程 [m]．北京：高等教育出版设，1996，(10)：

133-134．

[2]常庚哲等编．高中数学竞赛辅导讲座[m]．上海：上海科学技术出版社，1987．38-49

均值不等式证明过程篇五

均值不等式

定义

hn≤gn≤an≤qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。其中：

1、调和平均数：

2、几何平均数：

3、算术平均数：

4、平方平均数（均方根）：

一般形式

设函数（当r不等于0时）；

（当r=0时）特例可以注意到，hn≤gn≤an≤qn仅是上述不等式的特殊情形。

特例

可以注意到，hn≤gn≤an≤qn仅是上述不等式的特殊情形，即最著名的当属算术—几何均值不等式（am-gm不等式）： 当n=2时，上式即： 当且仅当时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，中学常用，即。

记忆

调几算方，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。均值不等式的变形

(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b=(abc)^(1/3)证明

均值不等式的证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则(a＋b)^n≥a^n＋na^(n－1)b。

注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a＋b≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1＋a2＋„＋an)／n)^n≥a1a2„an。当n＝2时易证；

假设当n＝k时命题成立，即

((a1＋a2＋„＋ak)／k)^k≥a1a2„ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2，„，a(k＋1)中最大者，则 ka(k＋1)≥a1＋a2＋„＋ak。设s＝a1＋a2＋„＋ak，{[a1＋a2＋„＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1)＝{s/k＋[ka(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1)≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[ka(k＋1)－s]／k(k＋1)用引理 ＝(s／k)^k*a(k＋1)≥a1a2„a(k＋1)。用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)] 即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）

均值不等式的应用

例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p 周长最小值为4√p 例三长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16

均值不等式证明过程篇六

均值不等式归纳总结1.(1)若a,br，则ab2ab 22a2b2(2)若a,br，则ab

2*（当且仅当ab时取“=”）2.(1)若a,br*，则ab2(2)若a,br，则ab2ab（当且仅当ab

时取“=”）

ab(3)若a,br，则ab2*2(当且仅当ab时取“=”）

3.若x0，则x2 (当且仅当x1时取“=”）

1x

1若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）x

若x0，则x1

x

ba2即x11）2或x-2(当且仅当ab时取“=”xx4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）

若ab0，则ab2即ab2或ab-2(当且仅当ab时取“=”）bababa

5.若a,br，则(ab)2a

22b22（当且仅当ab时取“=”）

ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和

为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x＋

12x

2（2）y＝x＋x

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x，求函数y4x2技巧二：凑系数 例1.当

时，求yx(82x)的最大值。

541的最大值。4x5

变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。

技巧三： 分离

x27x10

(x1)的值域。例2.求y

x

1练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.11x23x1,x(0,),x3(3)y2sinx,(x0)（2）y2x（1）y

sinxx3x

2．已知0x

1，求函数y值.；

3．0x，求函数y值.1.若实数满足ab2，则3a3b的最小值是

变式：若log4xlog4y2，求

技巧四：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x0,y0，且1，求xy的最小值。错．解．

：

x0,y0，且

1xy

1x1的最小值.并求x,y的值 y

1x9y，

19xy

xy1

2xy

故

xymin12。

错因：解法中两次连用均值

不等式，在xyx

y，在19xy即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因

x9y

此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：

19y9x19

x0,y0,1，xyxy1061016

xyxyxy

当且仅当

y

x199x

时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时，xymin16。

xyy

x

y



变式：（1）若x,yr且2xy1，求11的最小值

技巧五

已知x，y为正实数，且x 2＋

y 2

＝1，求1＋y 2 的最大值.24

技巧六：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

点评：如何由已知不等式aba2b30出发求得ab的范围，关键是寻找（a,br）到ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

ab（a,br），这样将已知条件2

ab的最小值.转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应三：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca 1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc



例6：已知a、b、cr，且abc1。求证：1118 abc

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连

乘，又111abca

a

a

变形入手。

11abc1abc1。

解：a、b、cr。

同理11

11

a

a

a

bc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当时取等号。11183abc