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课程名称（中文）：计算方法（C） 学分数：2学分
课程名称（英文）：Numerical Analysis（C） 上机（实验）时数：4小时
课内学时数：36 课外学时数：4
教学方式：课堂授课
教学要求：
数值模拟和计算、理论推演和科学实验是并列的三种科学研究方法。本课程主要介绍应用计算机求解或数值模拟各类数学问题的基本方法，帮助学生掌握最基本的数值算法，构造数值算法的主要思想方法和工具，以及在应用数值算法时应注意的问题：算法的计算效率、收敛性、数值稳定性、误差估计和算法的适用范围等。
具体要求如下：
1．数值方法的基本问题
（1）了解浮点数系的定义、性质，浮点数系中数的运算、运算误差与应注意的问题；
（2）了解问题的性态和算法的稳定性。
2．求解线性方程组的数值方法
（1）理解向量范数和矩阵范数的定义，及其相容性，谱半径。
（2）理解Gauss消去法的过程，及选主元素的思想和作用。掌握矩阵三角分解的步骤和算法过程。
（3）了解病态方程组的定义，矩阵条件数的定义及主要用途。
（4）理解迭代法求解线性方程组的基本框架。了解迭代公式的收敛性分析。
（5）理解Jacobi迭代法、Gauss-Seidal迭代法的构造思想，掌握这两种方法的矩阵形式和分量形式。掌握这两种方法的主要收敛性结论。了解迭代终止的判断方法。
3．插值法和数值逼近
（1）了解数值逼近问题的背景和用途，理解插值和线性最小二乘逼近问题的基本形式。
（2）理解多项式插值问题的基本概念，插值多项式的存在唯一性和余项公式。
（3）掌握Lagrange插值方法、差商定义及其基本性质、牛顿插值方法。
（4）理解求解最小二乘问题与解对应的法方程的等价性，会构造最小二乘问题的法方程。
4．数值积分与微分
（1）理解有关数值积分公式的形式、误差、代数精度等基本概念。
（2）掌握插值型求积公式的基本构造过程及其基本性质，会运用代数精度通过待定系数法确定求积公式系数与误差。
（3）掌握简单复化求积公式的计算，及Romberg方法的原理和计算过程。
（4）会用插值公式和Taylor展开构造给定误差阶的数值微分公式。
5．非线性方程的数值解法
（1）理解不动点迭代法求解非线性方程的思想和一般公式。了解压缩映像原理、并能应用于简单迭代法的收敛性分析。了解加速方法的技巧。了解收敛阶的概念和简单的判定方法。
（2）掌握Newton法、割线法求解非线性方程。会用Newton迭代收敛的充分条件判断简单的收敛问题。
课程内容简介（500字以内）：
1、 浮点数系及其基本性质；问题的性态；数值方法的稳定性。
2、 解线性方程组的直接算法——Gauss消去法，及其矩阵形式——矩阵分解；解线性方程组的迭代算法；向量与矩阵范数，线性方程组解的可靠性。
3、 插值法和数值逼近：插值多项式的存在唯一性，Lagrange插值公式，差商定义和Newton插值公式，插值多项式的余项。线性最小二乘问题及其法方程。
4、 数值微积分：内插求积，Newton-Cotes公式，梯形与复化梯形、Simposon与复化Simposon公式，Romberg方法，待定系数法；用插值公式和Taylor展开式构造数值微分公式。
5、 非线性方程的数值解法：简单迭代法，压缩映像原理和迭代法收敛性分析，迭代改善；Newton法、割线法，Newton法的收敛性，收敛速度。
课程大纲（具体到章、节、小节）：
第1章 绪论
1．1 数值计算
1．2 数值方法的分析
1.2.1 计算机上数的运算
1.2.2 问题的性态
1.2.3 方法的数值稳定性
第2章 线性代数方程组
2．1 Gauss消去法
2.1.1 消去法
2.1.2 主元消去法
2．2 矩阵分解
2.2.1 Gauss消去法的矩阵意义
2.2.2 矩阵的LU分解及其应用
2.2.3 其他类型矩阵的分解
2.2.4 解三对角矩阵的追赶法
2．3 线性方程组解的可靠性
2.3.1 误差向量和范数
2.3.2 残向量
2.3.3 误差的代数表征
2．4 解线性方程组解的迭代法
2.4.1 基本迭代法
2.4.2 迭代法的矩阵表示
2.4.3 收敛性
第3章 数据近似
3．1 多项式插值
3.1.1 插值多项式
3.1.2 Lagrange插值多项式
3.1.3 Newton插值多项式
3.1.4 带导数条件的插值多项式
3.1.5 插值公式的误差
3．2 最小二乘近似
第4章 数值微积分
4．1 内插求积，Newton-Cotes公式
4.1.1 Newton-Cotes公式
4.1.2 复化求积公式
4.1.3 步长的选取
4.1.4 待定系数法
4．2 Romberg方法
4．3 数值微分
第5章 非线性方程求解
5．1 解一元方程的迭代法
5.1.1 简单迭代法
5.1.2 Newton法
5.1.3 割线法
5.1.4 区间方法
收敛性问题
5.1.1 简单迭代——不动点
5.1.2 收敛性的改善
5.1.3 Newton法的收敛性
5.1.4 收敛速度
参考教材名称：凌永祥、陈明逵编：《计算方法教程》西安：西安交通大学出版社，2005年。
主要参考书：Gerald Recktenwald （美）著，伍卫国等译：《数值方法和MATLAB实现与应用》北京：机械工业出版社，2004年；
李庆扬编：《数值分析基础教程》北京：高等教育出版社，2001年；
预修课程（最低要求）：高等数学，线性代数
适用专业：工程硕士各相关工程领域
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