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南京信息工程大学2012年硕士研究生招生入学考试
《数学》(理)考试大纲
科目代码:601
考试科目:数学(理)
 
一、函数、极限、连续
考试内容:
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题的函数关系的建立
 
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:
, ;
函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
考试要求:
 
1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
 
4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
 
6.了解极限的性质,掌握极限的四则运算法则。
7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小、无穷大的概念,会用无穷小的比较方法,掌握等价无穷小求极限的方法。
 
9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。
 
二、一元函数微分学
考试内容:
导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 基本初等函数的导数 导数和微分的四则运算 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达(L’Hospital)法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率半径
 
考试要求:
1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系。
 
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。
3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数。
 
4.会求分段函数的一阶、二阶导数。
5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
6.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解并会用柯西中值定理和泰勒定理。
7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
 
8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。
9.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
10.了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。
 
三、一元函数积分学
原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 广义积分 定积分的应用
 
考试要求:
1.理解原函数概念,理解不定积分和定积分的概念.
2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法.
 
3.会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分.
4.理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿一莱布尼茨公式.
5.了解广义积分的概念,会计算广义积分.
 
6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力)及函数的平均值等.
 
四、向量代数和空间解析几何
考试内容:
向量的概念  向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
 
考试要求:
1. 理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。
2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),了解两个向量垂直、平行的条件。
3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
 
4.掌握平面方程和直线方程及其求法。
5.会求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。
 
6.会求点到直线以及点到平面的距离。
7. 了解曲面方程和空间曲线方程的概念。
8. 了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
 
9. 了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程。
 
五、多元函数微分学
考试内容:
多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值 多元函数的最大值、最小值及其简单应用
 
考试要求:
1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。
 
4.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
6.了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数。
 
7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式。
 
9.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。
 
六、多元函数积分学
考试内容:
二重积分、三重积分的概念及性质 二重积分与三重积分的计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林(Green)公式 平面曲线积分与路径无关的条件 已知全微分求原函数 两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯(Gauss)公式 斯托克斯(STOKES)公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用
 
考试要求:
1.理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理。
2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。
 
3.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
4.掌握计算两类曲线积分的方法。
 
5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数。
6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。
 
7.了解散度与旋度的概念,并会计算。
8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等)。
 
七、无穷级数
考试内容:
常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p级数以及它们的收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数 狄利克雷(Dlrichlei)定理 函数在上的傅里叶级数 函数在上的正弦级数和余弦级数
 
考试要求:
1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2.掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。
 
3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法。
4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
 
7.理解幂级数的收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和。
 
9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10.掌握、、、及的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
 
11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和的表达式。
 
八、常微分方程
考试内容:
常微分方程的基本概念  变量可分离的方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利(Bernoulli)方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉(Euler)方程 微分方程简单应用
 
考试要求:
1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念.
2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法.
 
3.会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程.
4.会用降阶法解下列形式的微分方程:
.
5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理.
 
6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
 
7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.
 
8.会解欧拉方程.
9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.
 

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