考试大纲

数学分析考试大纲（2009版）

一、考试内容与要求
(一) 极限论
（1）理解和掌握数列极限，函数极限的概念。熟练掌握并能运用极限ε-N，ε-X，ε-δ语言。
（2）掌握收敛数列的性质及运算。掌握数列极限的存在条件(单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则)；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。
（3）理解无穷小量和无穷大量的定义、性质和关系，掌握无穷小量阶的比较和方法。
（4）理解与掌握一元函数连续性的定义(点，区间)，间断点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念。
（5）掌握和应用闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性）；掌握初等函数的连续性，理解复合函数的连续性，反函数的连续性。
（6）掌握实数连续性定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理。
（7）理解平面点集的基本概念，二元函数的极限，累次极限，连续性概念；了解闭区间的套定理，有限覆盖定理，多元连续函数的性质。

(二) 微分学
（1）理解和掌握导数与微分概念和几何意义；能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数(特别是复合函数)。
（2）理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；掌握导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。
（3）掌握中值定理的内容、证明及其应用；掌握泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开。
（4）能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限；掌握函数的某些基本特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点及渐近线)，能较正确地作出某些函数的图象。
（5）掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数极值等概念；理解全微分、偏导数、连续之间的关系；掌握多元函数泰勒公式；会求多元函数的极值。
（6）掌握隐函数的概念及隐函数的存在定理；会求隐函数的导数；会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程；掌握条件极值概念及求法。

(三) 积分学
（1）掌握原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法和三角有理式积分法，并能利用它们来求函数的积分；会计算简单的无理函数的积分。
（2）理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数类； 掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。
（3）掌握定积分的几何应用；掌握定积分在物理上的应用；掌握"微元法"。
（4）掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；.能用收敛性判别法判断某些反常积分的收敛性。
（5）掌握含参变量定积分的概念与性质； 掌握含参变量广义积分的收敛与一致收敛的概念；掌握含参变量广义积分一致收敛的判别法；熟练应用欧拉公式。
（6）掌握两类曲线积分的概念及计算；掌握两类曲线积分的性质；掌握两类曲线积分的关系；掌握格林公式的证明某些应用；会计算曲线积分。
（7）掌握二重、三重积分的概念、性质；会计算重积分；会求图形的面积，体积及物体的质量与重心。
（8）掌握两类曲面积分的概念及计算；掌握两类曲面积分的性质； 掌握两类两类曲面积分的关系；会计算曲面积分。
（9）理解场论中的基本概念（梯度、散度、环量、旋度、保守场和势函数），掌握保守场的判别条件。

（四）级数论
（1）理解无穷级数的收敛，发散，绝对收敛与条件收敛等概念；正确叙述收敛级数的性质；应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性；熟悉几何级数调和级数与p级数。
（2）掌握收敛域、极限函数与和函数一致敛等概念；掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明)；能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。
（3）掌握幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；掌握幂级数的性质；会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域；会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式。
（4）掌握三角函数系的正交性与函数的Fourier级数的概念；能正确地叙述Fourier级数收敛性判别法；能将一些函数展开成Fourier级数。